Часть 2:
Страница 4
1
2
3
4
5
6
7
?
Страница 5
1
2
3
4
5
6
7
?
Страница 6
1
2
3
?
Страница 7
1
2
3
4
5
6
7
8
?
Страница 8
1
2
3
4
5
6
7
?
Страница 9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
?
Страница 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
?
Страница 11
1
2
3
4
?
Страница 12. Странички для любознательных
1
2
3
4
Страница 13
1
2
3
4
5
6
?
Страница 14
1
2
3
4
5
6
?
Страница 15
1
2
3
4
5
6
7
?
Страница 16
1
2
3
4
5
6
?
Страница 17
1
2
3
4
5
6
?
Страница 18
1
2
3
4
5
6
7
?
Страница 19
1
2
3
4
5
6
7
?
Страница 20
1
2
3
4
5
6
7
8
?
Страница 21
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Страница 22-23. Странички для любознательных
1
2
3
Страница 24-25. Что узнали. Чему научились
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Страница 26
1
2
3
4
5
?
Страница 27
1
2
3
4
5
?
Страница 28
1
2
3
4
5
6
7
?
Страница 29
1
2
3
4
5
6
?
Страница 30
1
2
3
4
5
6
?
Страница 31
1
2
3
4
5
6
7
8
Страница 32
1
2
3
4
5
6
7
?
Страница 33-35. Что узнали. Чему научились
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Страница 38-39. Проверим себя и оценим свои достиженияВариант 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Вариант 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Страница 40. Странички для любознательных
1
2
Страница 42
1
2
3
4
5
6
7
8
?
Страница 43
1
2
3
4
5
6
7
?
Страница 44
1
2
3
4
Страница 45
5
6
7
8
9
10
11
12
?
Страница 46
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
?
Страница 47
1
2
3
4
5
6
7
?
Страница 48
1
2
3
4
5
6
?
Страница 49
1
2
3
4
5
6
7
8
?
Страница 50
1
2
3
4
5
6
?
Страница 51
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Страница 52-53. Странички для любознательных
1
2
3
4
5
6
7
8
Страница 54
1
2
3
4
5
?
Страница 55. Задачи — Расчеты
1
2
3
4
Страница 56-57. Странички для любознательных
1
2
3
4
Страница 58-61. Что узнали. Чему научились
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Страница 62-63. Проверим себя и оценим свои достиженияВариант 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Вариант 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Страница 64. Странички для любознательных
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Страница 66
1
2
3
4
5
6
7
?
Страница 67
1
2
3
4
5
6
7
8
?
Страница 68
1
2
3
4
5
?
Страница 69
1
2
3
4
5
6
7
?
Страница 70
1
2
3
4
5
6
7
8
9
?
Страница 71
1
2
3
4
5
6
?
Страница 72
1
2
3
4
5
6
7
?
Страница 73
1
2
3
4
Страница 74
1
2
3
4
5
6
?
Страница 75. Странички для любознательных
1
2
3
4
5
Страница 76-79. Что узнали. Чему научились
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
Страница 80. Странички для любознательных
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Страница 82
1
2
3
4
5
6
7
?
Страница 83
1
2
3
4
5
6
7
?
Страница 84
1
2
3
4
5
6
7
8
?
Страница 85
1
2
3
4
5
?
Страница 86
1
2
3
4
?
Страница 87. Странички для любознательных
1
2
3
Страница 88
1
2
3
4
5
?
Страница 89
1
2
3
4
5
6
?
Страница 90
1
2
3
4
5
6
7
8
?
Страница 91
1
2
3
4
5
6
?
Страница 92
1
2
3
4
5
6
7
?
Страница 93
1
2
3
Страница 94
4
5
6
?
Страница 95
1
2
3
4
5
6
7
?
Страница 96
1
2
3
4
5
6
7
8
Страница 98
1
2
3
4
5
6
?
Страница 99-102. Что узнали. Чему научились
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
Что узнали, чему научились в 3 классе?Страница 103. Нумерация
1
2
3
4
5
6
7
8
Страница 103-104. Сложение и вычитание
1
2
3
4
5
6
7
8
Страница 105-106. Умножение и деление
1
2
3
4
5
6
7
8
Страница 107. Правила о порядке выполнения действий
1
Страница 107-108. Задачи
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Страница 109. Геометрические фигуры и величины
1
2
3
4
5
Тексты для итоговой контрольной работыСтраница 110. Задания базового уровня
1
2
3
4
5
6
7
Страница 111. Задания повышенного уровня
1
2
3
4
5
6
7
Часть 2:
стр. 4
стр. 5
стр. 6
стр. 7
стр. 8
стр. 9
стр. 10
стр. 11
стр. 12
стр. 13
стр. 14
стр. 15
стр. 16
стр. 17
стр. 18
стр. 19
стр. 20
стр. 21
стр. 22
стр. 23
стр. 24
стр. 25
стр. 26
стр. 27
стр. 28
стр. 29
стр. 30
стр. 31
стр. 32
стр. 33
стр. 34
стр. 35
стр. 38
стр. 39
стр. 40
стр. 42
стр. 43
стр. 44
стр. 45
стр. 46
стр. 47
стр. 48
стр. 49
стр. 50
стр. 51
стр. 52
стр. 53
стр. 54
стр. 55
стр. 56
стр. 57
стр. 58
стр. 59
стр. 60
стр. 61
стр. 62
стр. 63
стр. 64
стр. 66
стр. 67
стр. 68
стр. 69
стр. 70
стр. 71
стр. 72
стр. 73
стр. 74
стр. 75
стр. 76
стр. 77
стр. 78
стр. 79
стр. 80
стр. 82
стр. 83
стр. 84
стр. 85
стр. 86
стр. 87
стр. 88
стр. 89
стр. 90
стр. 91
стр. 92
стр. 93
стр. 94
стр. 95
стр. 96
стр. 98
стр. 99
стр. 100
стр. 101
стр. 102
стр. 103
стр. 104
стр. 105
стр. 106
стр. 107
стр. 108
стр. 109
стр. 110
стр. 111
Правила разложения чисел
Чтобы разложить число на сумму разрядных слагаемых, необходимо вспомнить, что каждое натуральное число связано с количеством определенных элементов. При записи числа разложение зависит от числа единиц, десятков, сотен, тысяч и т.д. К примеру, если взять число 937, то можно увидеть, что ему соответствует 9 сотен, 3 десятка и 7 единиц. Число 245 500 соответствует 2 сотням тысяч, 4 десяткам тысяч, 5 тысячам и 5 сотням. Эти числа можно представить в виде равенств — 900 + 30 + 8 = 938 и 245 500 = 200 000 + 40 000 + 5 000 + 500. В данных примерах можно наглядно увидеть, как число можно разделить на сумму цифр. Рассматривая этот пример, мы можем представить всевозможное натуральное число в виде суммы его разрядных членов. Вот еще один пример. Представим натуральное число 724 как сумму составляющих цифр. 724 равно 7 сотням, 2 десяткам и 4 единицам, поэтому 724 = 700 + 20 + 4. Однако сумма 312 + 412 не является суммой составляющих цифр числа 724, потому что нельзя иметь два числа, которые состоят из одинакового количества цифр. Мы уже рассматривали ключевое понятие. Разрядные слагаемые названы так потому, что они принадлежат к конкретному разряду.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Нужна помощь
Примеры задач
Пример 1. Известна сумма разрядов, как же найти само число?
Чтобы решить этот пример, давайте рассмотрим обратную задачу. Представим, что мы знаем сумму слагаемых цифр. Нам нужно найти заданное натуральное число.
Например, сумма 300 + 40 + 9 равна 349, а сумма 30 000 + 3 000 + 600 + 20 + 7 соответствует натуральному числу 33627. Поэтому легко определить натуральное, если вы знаете сумму его вспомогательных слагаемых.
Другой способ найти натуральное — сложить столбцы сумм цифр. Этот пример не должен вызвать у вас затруднений. Рассмотрим его более подробно.
Пример 2. Нужно найти исходное число, когда дана сумма разрядных концов 300 000 + 50 000 + 2000+ 400 + 40 + 7.
Далее приступим к решению. Необходимо записать числа 300 000, 50 000, 2000, 400, 40, 7 сложить в столбик: осталось лишь сложить все числа в столбик
Важно помнить о том, что сумма нулей равна нулю и что сумма нулей и натурального числа равна натуральному числу
Таким образом, выполнив сумму, мы получаем натуральное — 352447, сумма цифр которого равна 300 000 + 50 000 + 2000 + 400 + 40 + 7.
Поговорим еще об одном методе. Если мы научились делить числа и преобразовывать их в виде суммы понятий с цифрами, мы также можем представлять данные числа в виде некоторой суммы без цифр.
Пример 3. Разложение числа 5825 представляется как 49565 = 40000 + 9000 + 500 + 60 + 5, а сумма разрядных компонентов 5000 + 800 + 20 + 5 может быть представлена как (40000 + 9000) + (500 + 60) + 5 = 49565 или (40000 + 9000 + 500 + 60) + 5 = 49565 или 40000 + (9000 + 500 + 60) + 5 = 49565 и многие другие способы. Иногда сложные расчеты можно немного упростить. Приведем еще один небольшой пример для наилучшего закрепления представленной информации.
Пример 4. Вычтите числа 67838 и 780. Сначала представим — 67838 как сумму разрядных компонентов: 67838 = 60000 + 7000 + 800 + 30 + 8. Выполнив операцию, можно сделать вывод, что сумма (60000+7000)+ (800 + 30 + 
= 67000 + 838. Тогда 67838 — 780 = (67000 + 838) — 780 = 67000 + (838 — 780) = 67000 + 58 = 67058.
Стоит рассмотреть обратную задачу более подробно. Считайте, что у нас есть сумма разрядных составляющих натурального числа, и нам нужно найти это число.
Например, сумма 300+20+9 является разложением разрядных чисел 329, а сумма разрядных слагаемых вида 3 000 000 + 40 000 + 4 000 + 500 соответствует натуральному числу 3 044 500.
То есть 600 + 20 + 9 = 629, а 3 000 000 + 30 000 + 4 000 + 500 = 3 034 500.
Чтобы найти положительное число по известной сумме разрядных слагаемых, можно сложить эти разрядные слагаемые в столбик (при необходимости обратитесь к материалу по сложению целых положительных чисел в столбик). Рассмотрим решение этого примера.
Найдите целое положительное, если сумма разрядных составляющих равна 200 000 + 40 000 + 50 + 5.
Запишите числа 200 000, 40 000, 50 и 5 так, как того требует метод сложения в столбик:
Осталось только сложить все эти числа в столбик:
Под горизонтальной чертой мы получили искомое натуральное число.
В заключение мы хотели бы обратить ваше внимание еще на один момент. Умение раскладывать натуральные числа на цифры и умение выполнять обратное действие позволяет представить натуральное в виде суммы слагаемых, которые не являются разрядными
Например, разрядное сложение целых положительных чисел 643 имеет следующий вид 643 = 600 + 40 + 3, а сумма разрядных слагаемых 700 + 20 + 5 в силу свойств сложения целых положительных чисел может быть представлена как (600 + 40) + 5 = 640 + 3 или 600+(40 + 3) = 600 + 43, или (600 + 3) + 40 = 603 + 40.
Возникает логичный вопрос: «Для чего это нужно? Ответ на него прост: в некоторых случаях это может упростить вычисления.
Пример 4. Вычтем целые положительные числа 5 799 и 790.
Сначала представим вычитаемое как сумму разрядных компонентов: 5 799 = 5 000 + 700 + 90 + 9.
Легко увидеть, что сумма разрядных компонентов равна сумме (5000 + 9) + (700 + 90) = 5009 + 790.
Тогда 5 799 — 790 = (5 009 + 790) — 790 = 5 009 + (790 — 790) =5 009 + 0=5 009.
Часть 1:
Страница 4
1
2
3
4
5
6
?
Страница 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
?
Страница 6
1
2
3
4
5
6
7
8
?
Страница 7
1
2
3
4
5
?
Страница 8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
?
Страница 9
1
2
3
4
5
6
7
?
Страница 10
1
2
3
4
?
Страница 11-13. Странички для любознательных
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Страница 14-16. Что узнали. Чему научились
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
Страница 18
1
2
3
4
5
6
?
Страница 19
1
2
3
4
5
6
7
8
?
Страница 20
1
2
3
4
5
6
?
Страница 21
1
2
3
4
5
6
7
8
?
Страница 22
1
2
3
4
5
6
?
Страница 23
1
2
3
4
5
6
7
?
Страница 24
1
2
Страница 25
3
4
5
6
7
8
?
Страница 26
1
2
3
4
5
6
7
?
Страница 27
1
2
3
4
5
?
Страница 28. Странички для любознательных
1
2
3
Страница 29-31. Что узнали. Чему научились
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Страница 32. Проверим себя и оценим свои достиженияВариант 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Вариант 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Страница 34
1
2
3
4
5
6
?
Страница 35
1
2
3
4
5
?
Страница 36
1
2
3
4
5
6
?
Страница 37
1
2
3
4
5
?
Страница 38
1
2
3
4
5
6
?
Страница 39
1
2
3
4
5
6
?
Страница 40
1
2
3
4
5
6
?
Страница 41
1
2
3
4
5
6
?
Страница 42
1
2
3
4
?
Страница 43
1
2
3
4
5
Страница 44
1
2
3
4
5
6
?
Страница 45
1
2
3
4
5
6
?
Страница 46
1
2
3
4
5
?
Страница 47
1
2
3
4
5
6
7
8
?
Страница 48
1
2
3
4
5
6
7
?
Страница 49. Странички для любознательных
1
2
Страница 52-55. Что узнали. Чему научились
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Страница 57
1
2
3
4
5
?
Страница 58
1
2
3
4
5
Страница 59
6
7
8
9
?
Страница 60
1
2
Страница 61
3
4
5
6
7
8
9
?
Страница 62
1
2
3
4
5
6
7
?
Страница 63
1
2
3
4
5
6
?
Страница 64
1
2
3
4
5
?
Страница 65
1
2
3
4
5
6
?
Страница 66
1
2
3
Страница 67
4
5
6
7
8
9
?
Страница 68
1
2
3
4
5
?
Страница 69
1
2
3
?
Страница 70
1
2
3
Страница 71
4
5
6
7
?
Страница 72
1
2
3
4
5
6
7
?
Страница 73. Задачи — Расчеты
1
2
Страница 74-75. Странички для любознательных
1
2
3
4
5
6
Страница 76-79. Что узнали. Чему научились
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
Страница 80. Проверим себя и оценим свои достиженияВариант 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Вариант 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Страница 82
1
2
3
4
5
6
7
?
Страница 83
1
2
3
4
5
6
7
8
?
Страница 84
1
2
3
4
5
6
?
Страница 85
1
2
3
4
5
6
7
8
?
Страница 86
1
2
3
4
5
6
Страница 87
7
8
9
?
Страница 88-89. Странички для любознательных
1
2
3
4
5
6
Страница 90. Задачи — Расчеты
1
2
3
Страница 92
1
2
Страница 93
3
4
5
6
7
8
9
?
Страница 94
1
2
Страница 95
3
4
5
6
7
?
Страница 96
1
2
3
4
?
Страница 97
1
2
3
4
5
6
7
8
Страница 98
1
Страница 99
2
3
4
5
6
7
8
?
Страница 100
1
2
3
4
5
?
Страница 101. Странички для любознательных
1
Страница 102-103. Задачи в картинках
1
2
3
Страница 104-108. Что узнали. Чему научились
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
Страница 109. Странички для любознательных
1
2
3
4
5
6
7
Тексты для контрольных работСтраница 110. Задания базового уровня
1
2
3
4
5
6
Страница 111. Задания повышенного уровня сложности
1
2
3
4
5
6
Часть 1:
стр. 4
стр. 5
стр. 6
стр. 7
стр. 8
стр. 9
стр. 10
стр. 11
стр. 12
стр. 13
стр. 14
стр. 15
стр. 16
стр. 18
стр. 19
стр. 20
стр. 21
стр. 22
стр. 23
стр. 24
стр. 25
стр. 26
стр. 27
стр. 28
стр. 29
стр. 30
стр. 31
стр. 32
стр. 33
стр. 34
стр. 35
стр. 36
стр. 37
стр. 38
стр. 39
стр. 40
стр. 41
стр. 42
стр. 43
стр. 44
стр. 45
стр. 46
стр. 47
стр. 48
стр. 49
стр. 52
стр. 53
стр. 54
стр. 55
стр. 57
стр. 58
стр. 59
стр. 60
стр. 61
стр. 62
стр. 63
стр. 64
стр. 65
стр. 66
стр. 67
стр. 68
стр. 69
стр. 70
стр. 71
стр. 72
стр. 73
стр. 74
стр. 75
стр. 76
стр. 77
стр. 78
стр. 79
стр. 80
стр. 81
стр. 82
стр. 83
стр. 84
стр. 85
стр. 86
стр. 87
стр. 88
стр. 89
стр. 90
стр. 92
стр. 93
стр. 94
стр. 95
стр. 96
стр. 97
стр. 98
стр. 99
стр. 100
стр. 101
стр. 102
стр. 103
стр. 104
стр. 105
стр. 106
стр. 107
стр. 108
стр. 109
стр. 110
стр. 111
Разряды чисел
Каждая цифра в записи многозначного числа занимает определённое место — позицию. Место (позицию) в записи числа, на котором стоит цифра, называют разрядом.
Разряд числа — это позиция (место) цифры в записи числа.
Счёт разрядов идёт справа налево. То есть, первая цифра справа в записи числа называется цифрой первого разряда, вторая цифра справа — цифрой второго разряда и т. д. Например, в первом классе числа 148 951 784 296, цифра 6 является цифрой первого разряда, 9 — цифра второго разряда, 2 — цифра третьего разряда:
Единицы, десятки, сотни, тысячи и т. д. иначе ещё называют разрядными единицами:
- Единицы называют единицами первого разряда (или простыми единицами) и пишутся на первом месте справа.
- Десятки — единицами второго разряда и пишутся в числе на втором месте справа.
- Сотни — единицами третьего разряда и пишутся на третьем месте справа.
- Единицы тысяч — единицами четвёртого разряда и пишутся на четвёртом месте справа.
- Десятки тысяч — единицами пятого разряда и пишутся на пятом месте справа.
- Сотни тысяч — единицами шестого разряда и пишутся в числе на шестом месте справа и так далее.
Каждые три разряда, следующие друг за другом, составляют класс. Первые три разряда: единицы десятки и сотни — образуют класс единиц (первый класс). Следующие три разряда: единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч — образуют класс тысяч (второй класс). Третий класс будут составлять единицы, десятки и тысячи миллионов и так далее.
Пример. Запишите цифрами число, которое содержит:
1) 37 единиц второго класса и 565 единиц первого класса;
2) 450 единиц второго класса и 9 единиц первого класса;
3) 8 единиц второго класса и 50 единиц первого класса.
Решение:
1) 37 565;
2) 450 009;
3) 8 050.
Все разрядные единицы, кроме простых единиц, называются составными единицами. Так, десяток, сотня, тысяча и т. д. — составные единицы. Каждые 10 единиц любого разряда составляют одну единицу следующего (более высокого) разряда:
| 10 единиц | = | 1 десяток; |
| 10 десятков | = | 1 сотня; |
| 10 сотен | = | 1 тысяча; |
| 10 тысяч | = | 1 десяток тысяч; |
| 10 десятков тысяч | = | 1 сотня тысяч; |
| 10 сотен тысяч | = | 1 тысяча тысяч (1 миллион); |
и так далее.
Любая составная единица по сравнению с другой единицей, меньшей её называется единицей высшего разряда, а по сравнению с единицей, большей её, называется единицей низшего разряда. Например, сотня является единицей высшего разряда относительно десятка и единицей низшего разряда относительно тысячи.
Чтобы узнать, сколько в числе заключается всех единиц какого-либо разряда, надо отбросить все цифры, означающие единицы низших разрядов и прочитать число, выражаемое оставшимися цифрами.
Например, требуется узнать, сколько всего сотен содержится в числе 6284, т. е. сколько сотен заключается в тысячах и в сотнях данного числа вместе.
В числе 6284 на третьем месте в классе единиц стоит цифра 2, значит в числе есть две простые сотни. Следующая влево цифра — 6, означает тысячи. Так как в каждой тысяче содержится 10 сотен то, в 6 тысячах их заключается 60. Всего, таким образом, в данном числе содержится 62 сотни.
Цифра в каком-нибудь разряде означает отсутствие единиц в данном разряде.
Например, цифра 0 в разряде десятков означает отсутствие десятков, в разряде сотен — отсутствие сотен и т. д. В том разряде, где стоит 0, при чтении числа ничего не произносится:
24 527 — двадцать четыре тысячи пятьсот двадцать семь.
20 507 — двадцать тысяч пятьсот семь.
Дополнительные комментарии и объяснения:
«ГДЗшник.ru» не только предлагает готовые ответы, но и дает дополнительные комментарии и объяснения к решениям. Это позволяет лучше понять материал, исправить ошибки и запомнить правильный подход к задачам. Таким образом, сервис становится не только инструментом для проверки, но и обучающим ресурсом.
Итак, если вам нужно быстро и бесплатно найти решения домашних заданий, обратитесь к сервису «ГДЗшник.ру». Удобство использования, бесплатность, актуальность информации и дополнительные комментарии делают этот ресурс отличным помощником для школьников. Не теряйте времени на поиски — «ГДЗшник.ру» поможет вам успешно справиться с учебными заданиями!
На ГДЗшник.ru вы найдете не только готовые ответы, но и подробные разъяснения к ним, что поможет вам глубже понять учебный материал и успешно справиться с домашними заданиями. Не забывайте использовать ГДЗ как инструмент для обучения и развития, а не как способ легкого пути к решению задач.