Вариант 2.
Найдите значение выражений:
- (53 + 12) + 37 =
- 18 + (44 + 21) + 72 =
Решение:
(53 + 12) + 37 = 102
18 + (44 + 21) + 72 = 155
Не выполняя вычислений назовите большую из сумм:194 + 29 или 211 + 18.
211 + 18 больше 194 + 29.
Задание 3.
У треугольника ABC сторона BC на 3 см больше, чем сторона AB и на 2 см меньше чем AC. Найдите периметр треугольника, если сторона BC равна 5 см.
Решение:
1) 5 — 3 = 2 (см) сторона AB;
2) 5 + 2 = 7 (см) сторона AC;
3) 2 + 7 + 5 = 14 (см).
Ответ: периметр треугольника равен 14 см.
Задание 4.
В трех начальных классах школы всего 91 учеников. В первом классе 28 учеников, во втором на 4 больше. Сколько учеников в третьем классе?
Решение:
1) 28 + 4 = 32 (ученика) во втором классе;
2) 28 + 32 = 60 (учеников) в первом и втором классах вместе;
3) 91 — 60 = 31 (ученик).
Ответ: в третьем классе учится 31 ученик.
Сложение натуральных чисел и его свойства
Для начала предлагаю вспомнить, что такое ряд натуральных чисел.
Натуральный ряд — это неограниченная последовательность натуральных чисел, расположенных в порядке их возрастания. Значит в натуральном ряду каждое последующее число больше предыдущего на единицу.
Как определить неизвестное число из натурального ряда?
Нужно прибавить к предыдущему числу единицу. Какое число следует за тройкой? Прибавляем единицу и получаем 4. То есть в натуральном ряду за тройкой следует четвёрка.
Как использовать это свойство натурального ряда при сложении?
Давайте сложим 2 и 3. Три — это три единицы, значит, к двойке прибавляем по одной по порядку:
2+1=3
3+1=4
4+1=5
В конечном результате действия с числами 2 и 3 появилось число 5. Вроде бы просто да? Но такой способ сложения лёгкий лишь когда, мы работаем с маленькими числами. С большими числами не по единичке же добавлять? Правильно?
Представим ситуацию, при которой в корзине лежит 20 яблок, добавляем к ним и ещё 15. Как определить, сколько всего яблок оказалось в корзине? Чтобы освободиться от необходимости перебирать объекты по одному, давайте определим операцию сложения.
Определение:
Сложение — это арифметическая операция, после проведения которого наши вещи, подвергаемые счету, соединяются воедино. В данном случае единое целое — это общее количество яблок в корзине. Общее количество в переводе на латиницу – это сумма. Слышали это слово?
Сумма — это результат операции сложения.
Для записи операции сложения используется знак «+». Он располагается между складываемыми числами.
Числа, которые мы складываем, называют слагаемыми. Для отображения результата сложения используют знак «=».
Давайте посчитаем, сколько же яблок оказалось в той самой корзине:
20 (яблок) + 15 (яблок) = 35 (яблок) в корзине
Теперь попробуем представить сложение небольших натуральных чисел на координатном луче.
Мы уже складывали числа 2 и 3. Возьмём теперь числа 2 и 4 и найдём их сумму с помощью координатного луча с началом отсчета в точке 0.
Его единичный отрезок (одно деление) равен единице. Мы помним, что любому числу координатного луча соответствует одна единственная точка. Учитывая это знание, выполним сложение натуральных чисел 2 и 4 на координатном луче.
Отмечаем число 2 там, где два деления, далее прибавляем 4, то есть двигаемся право на 4 единичных отрезка, где мы окажемся в точке, равной 6. Следовательно, суммы чисел 2 и 4 равна 6. Это мы и так уже знали, но теперь увидели это и на координатном луче.
Переходим к следующему разделу и рассмотрим свойства сложения натуральных чисел.
Переместительное свойство
У нас есть корзина, и в ней лежат 8 бананов. Затем мы кладем туда ещё 5 бананов. Таким образом, в ней оказывается 13 бананов.
А мы выберем немного другой порядок. Представим, что сначала в корзине было 5 бананов, и мы туда положили ещё 8 бананов. В итоге фруктов в корзине будет 13. Почему? Потому что и в первом и во втором случае общее количество фруктов, которые положили в корзину одинаковое. Без разницы, в каком порядке выполнялись эти действия 8 + 5 или 5 + 8. В обоих случаях в сумме получается 13. Переместительное свойство сложения обязательно нужно запомнить.
Определение:
От перестановки слагаемых сумма не меняется.
Сочетательное свойство
Второе сложения натуральных чисел – сочетательное свойство. Мы можем положить в корзину 3 банана и 4 яблока, а потом доложить еще 5 мандаринов. Или наоборот, мы можем положить 4 яблока и 5 мандаринов, а потом доложить еще 3 банана
Порядок добавления фруктов не имеет значения, потому неважно, в каком сочетании суммировались эти числа. В обоих случаях итог был бы одинаковым – 12 фруктов в корзине
Говоря математически, результат сложения числа 5 с суммой чисел 3 и 4 равен результату сложения числа 3 и суммы чисел 4 и 5.
Определение:
«Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить к нему первое слагаемое, а потом к полученной сумме второе».
Отметим, что последовательность действий при суммировании значение не имеет.
Сложение с числом 0
Еще одно свойство сложения – это свойство сложения 0 с натуральным числом.
При сложении 0 с каким-либо числом всегда получается это самое число. Или наоборот, если к числу прибавлять 0, то есть ничего не прибавлять, то получится исходное число.
Определение:
«Сумма двух слагаемых, если одно из слагаемых равно нулю, будет всегда равна другому слагаемому».
Уравнения
Давайте рассмотрим такую задачу.
В корзине лежало несколько ягод. После того, как в неё добавили еще 4, их стало 30. Вопрос, сколько яблок было в корзине?
Обозначим неизвестное число ягод, лежащих корзине, латинской буквой X.
После того, как неё добавили 4 ягоды в ней стало 30.
Мы можем записать равенство в следующем виде:
Х + 4 = 30
Это запись условия задачи называется уравнением.
Теперь наша задача сводится к следующему. Требуется найти, каким числом нужно заменить Х, чтобы значение буквенного выражения стало равно 30.
В таких случаях говорят, что надо решить уравнение.
Внимательно посмотрим на уравнение, которое находится перед нами. Нам неизвестно слагаемое. Воспользуйся правилом нахождения неизвестного слагаемого.
Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
Найдём значение X. Оно равно 26.
Давайте проверим. В наше начальное уравнение вместо X подставим число 26 и найдём значение левой части. Действительно, 30 равно 30.
Тогда говорят, что число 26 является корнем уравнения. Корнем уравнения называется число, которое при подстановке вместо буквы, обращать уравнение в верное числовое равенство.
Корень уравнения называют также решением уравнения. А решить уравнение значит найти все его корни или убедиться что их вообще нет (такое тоже может быть).
Например, уравнение X — X = 1 не имеет корней, потому что при любом числовом значении Х данное буквенное выражение не будет обращаться в верное числовое равенство.
В данной задаче мы находили неизвестное слагаемое. Но есть еще два правила, которые тоже обязательно нужно знать: правило нахождения неизвестного уменьшаемого и правило нахождения неизвестного вычитаемого.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к вычитаемому прибавить разность.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
В буквенном виде эти правила записываются следующим образом:
X — a = b => X = a + b
a — X = b => X = a — b
Вариант 4.
Решите примеры:
- 67 + (71 — 56) =
- (39 + 14) + (39 + 22) =
Решение:
67 + (71 — 56) = 82
(39 + 14) + (39 + 22) = 114
Сравните не выполняя вычислений:735 + 471 или 633 + 341.
735 + 471 больше чем 633 + 341.
Задание 3.
Одна из сторон треугольника равна 39 см вторая на 16 см меньше, а третья на 11 см больше чем вторая. Вычислите периметр треугольника.
Решение:
1) 39 — 16 = 23 (см) вторая сторона треугольника;
2) 23 + 11 = 34 (см) третья сторона треугольника;
3) 39 + 23 + 34 = 96 (см).
Ответ: периметр треугольника равен 96 см.
Задание 4.
Туристы за 3 дня преодолели 61 км. В первый день они прошли 12 км, во второй на 3 км меньше. Весь остальной путь они проехали на автобусе за третий день. Какое расстояние преодолели туристы за третий день?
Решение:
1) 12 — 3 = 9 (км) прошли туристы во второй день;
2) 12 + 9 = 21 (км) в первый и второй день вместе;
3) 61 — 21 = 40 (км).
Ответ: в третий день туристы преодолели 40 км.
Вариант 1.
Найдите значение выражений:
- (24 + 16) + 38 =
- 34 + (21 + 16) + 55 =
Решение:
(24 + 16) + 38 = 78
34 + (21 + 16) + 55 = 126
Не выполняя вычислений назовите большую из сумм:242 + 16 или 224 + 12
242 + 16 больше, чем 224 + 12
Задание 3.
У треугольника AOD сторона AO меньше стороны OD на 2 см и на 1 см больше стороны AD. Вычислите периметр этого треугольника если сторона AD равна 8 см.
Решение:
1) 8 + 1 = 9 (см) сторона AO;
2) 9 — 2 = 7 (см) сторона OD;
3) 9 + 7 + 8 = 24 (см).
Ответ: периметр треугольника AOD равен 24 см.
Задание 4.
В саду росли абрикосы вишни и черешни. Всего 48 фруктовых деревьев. Абрикос росло на 8 меньше, чем вишен. Сколько черешен росло в саду, если известно, что вишен росло 18?
Решение:
1) 18 — 8 = 10 абрикос росло в саду;
2) 10 + 18 = 28 вишен и абрикос;
3) 48 — 28 = 20.
Ответ: в саду росло 20 черешен.
Числовые и буквенные выражения
Как вы уже, наверное, заметили, математические операции сложения и вычитания мы записывали в какой-то новой для нас форме, со знаками «-«, «+» и «=».
Такой способ записи математической информации на бумаге, в компьютере или где-нибудь еще можно назвать математическим языком.
А определенную последовательность символов этого математического языка, которая несет в себе некий смысл, мы будет называть математическим выражением.
Существуют числовые и буквенные выражения. Ниже приведем пример таких выражений.
Под цифрами 1, 2 и 4 записаны числовые выражения.
Числовые выражения — это математические выражения, состоящие из чисел, знаков арифметических действий и скобок.
Под цифрами 2, 5 и 6 записаны буквенные выражения.
Буквенное выражение составлено также из знаков арифметических действий и скобок. Но в отличие от числовых выражений, здесь есть ещё и буквы. Буквами в буквенных выражениях обозначаются некоторые числа, которые пока нам не известны.
Следует учесть то, что две одинаковые буквы подразумевают под собой одно и то же число.
Если, например, известно какое число скрывается за каждой буквой в буквенном выражении, то такое выражение можно перевести в числовое.
Посмотрите на буквенное выражение:
a + b = 9
Если a = 5, а b = 4, то это буквенное выражение можно представить в виде числового
5 + 4 = 9
Вариант 3.
Найдите значение выражений:
- (31 + 52) + 11 =
- 92 + (43 + 15) + 48 =
Решение:
(31 + 52) + 11 = 94
92 + (43 + 15) + 48 = 198
Не выполняя вычислений назовите большую из сумм:182 + 72 или 159 + 64.
182 + 72 больше чем 159 + 64
Задание 3.
Одна из сторон участка треугольной формы равна 12 метров, вторая на 4 метра больше, а третья на 2 метра меньше, чем вторая. Найдите периметр участка.
Решение:
1) 12 + 4 = 16 (м) вторая сторона участка;
2) 16 — 2 = 14 (м) третья сторона участка;
2) 12 + 16 + 14 = 42 (м).
Ответ: периметр участка равен 42 метра.
Задание 4.
На овощную базу завезли картофель, лук и капусту, всего 356 кг. Картофеля завезли на 51 кг больше чем капусты. Сколько лука завезли на овощную базу, если капусты завезли 91 кг?
Решение:
1) 91 + 51 = 142 (кг) картофеля;
2) 91 + 142 = 233 (кг) картофеля и капусты вместе;
3) 356 — 233 = 123 (кг).
Ответ: на овощную базу завезли 123 кг лука.
Вычитание натуральных чисел и его свойства
Математический прием, при помощи которого, зная сумму слагаемых и один из этих слагаемых, можно определить неизвестное слагаемое, называется вычитанием.
Ранее мы складывали два числа 2 и 3 и получали 5. А теперь предположим, что мы не знаем второе число 3, а знаем только результат 5 и начальное число 2.
Давайте произведем математическую операцию вычитания.
5 – 2 = 3
Как видите, результатом вычитания является недостающее слагаемое. Оно называется разность.
В нашем случае число 5 тогда будет называть уменьшаемым, а число 2 будет называть вычитаемым.
Похожим образом, как и со сложением, можно вычитать числа на координатном луче, только двигаться нужно не вправо, а влево на число отрезков, равное вычитаемому.
Теперь рассмотрим свойства вычитания, которые иногда помогают значительно ускорить процесс расчетов.
Вычитание натурального числа из суммы
Если же мы хотим вычесть число из суммы двух чисел, мы можем сначала вычесть это натуральное число из одного из слагаемых, а потом прибавить к результату второе слагаемое.
Чуть позже мы разберемся, как эти правила записать в более понятном виде. Немного терпения 
Правила сравнения натуральных чисел
- Счет. Все числа справа в ряду будут всегда больше чисел, стоящих слева. Другими словами, чем раньше произноситься число в ряду, тем оно меньше следующего.
Например, сравним 4 и 8. Число 4 стоит левее 8, значит, оно меньше 8. Теперь возьмем 5 и 9. Число 9 произносим позже 5, значит оно больше.
2). Количество цифр, которое содержат сравниваемые числа. Число с большим количеством разрядов больше.
Например, сравним 10102 и 4059. У 10102 пять разрядов, а у числа 4059 только четыре разряда. Из этого следует, что 10 02 больше 4059.
Если количество розрядов оказалось одинаковым, прибегаем к дополнительному правилу: сравнение происходит поразрядно, начиная с самого высокого разряда.
Например, сравним 235 876 и 236 891. Поскольку цифры первых и вторых разрядов одинаковые, сравниваем третий разряд и получаем результат: 236 891 больше 235 876, поскольку 6 больше 5.
3). Координаты. Используя координатный луч можно легко сравнивать как маленькие числа, так и условно обозначенные большие числа.
На луче нужно представить точки с соответствующими координатами. Например, точка А (2) и точка С (6). Так как точка А лежит левее на луче (или ближе к началу координат), она будет меньше точки С. Соответственно, точка С лежит правее (или ближе к концу координат), поэтому она больше точки А.