Решебник по алгебре 8 класс с.м. никольский, м.к. потапов фгос

Квадратные неравенства

Ключевые слова: квадратные неравенства, решение квадратных неравенств, примеры решения задач. Раздел ОГЭ по математике: 3.2.5. Квадратные неравенства.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Неравенство вида ах2 + bх + с > 0, где а ≠ 0, называют квадратным неравенством.

Примечание к определению: вместо знака > могут стоять и другие знаки неравенства: <, ≥, ≤.

Множество решений квадратного неравенства легко найти, используя график функции у = ах2 + bх + с.

На рисунке изображён график функции у = х2 – 2х – 3. График пересекает ось х в двух точках, абсциссы которых равны –1 и 3, т. е. при х = –1 и х = 3 значения функции у = х2 – 2х – 3 равны нулю.

• При –1 < х < 3 график расположен ниже оси х, т. е. значения функции на этом промежутке отрицательны. Иными словами, множеством решений неравенства у < 0 является промежуток –1 < х < 3.
• При x < –1 и x > 3 график расположен выше оси х, т. е. значения функции положительны. Иными словами, неравенство х2– 2х – 3 > 0 выполняется при х < –1 и х > 3.

При решении квадратных неравенств можно ограничиться схематическим рисунком, показывающим положение графика относительно оси х, так как координаты вершины в данном вопросе значения не имеют; можно также не изображать ось у.

Если требуется решить квадратное неравенство с отрицательным коэффициентом а, то всегда целесообразно перейти к равносильному неравенству с положительным первым коэффициентом, умножив обе части неравенства на –1. Например, вместо неравенства 5 + 4х – х2 ≤ 0 решать неравенство х2– 4х – 5 ≥ 0.

Примеры решения задач

Пример 1. Решим неравенство х2 – x – 6 > 0.

Выясним, пересекает ли график функции у = х2 – х – 6 ось х. Для этого решим уравнение х2 – x – 6 = 0. Его корни x₁ = –2 и х₂ = 3. Следовательно, парабола (график функции) пересекает ось х в точках с абсциссами –2 и 3, её ветви направлены вверх. Покажем схематически расположение параболы относительно оси х.
Из рисунка видно, что парабола расположена выше оси x при х < –2 и х > 3. Объединение этих промежутков и составляет множество решений неравенства x2 – x – 6 > 0.

Ответ можно записать по–разному:
1) x < –2; х > 3;
2) (–оо; –2) U (3; +оо).

Пример 2. Решим неравенство х(3 – 2х) > 2.

Раскроем скобки и перенесём все слагаемые в левую часть, получим: –2×2 + 3x – 2 > 0. Теперь заменим неравенство равносильным неравенством с положительным первым коэффициентом (для этого умножим обе части неравенства на –1 и заменим знак неравенства на противоположный): 2х2– 3х + 2 < 0.

Выясним, пересекает ли парабола – график функции у = 2х2– 3х + 2 – ось х. Найдём дискриминант квадратного трёхчлена 2х2– 3х + 2, a именно: D = 9 – 4·2·2 = 9 – 16 < 0. Так как дискриминант отрицательный, то квадратный трёхчлен не имеет корней и парабола не пересекает ось х. Изобразим эту параболу схематически:
При всех значениях х парабола расположена выше оси х, это означает, что нет таких значений х, при которых функция у = 2х2– 3х + 2 принимает отрицательные значения, значит, неравенство 2х2–Зх + 2 < 0 решений не имеет.

Ответ можно записать по–разному:
1) неравенство решений не имеет;
2) ∅.

Пример 3. Воспользуемся этим же рисунком, чтобы решить неравенство –2х2 + 3х – 2 < 0. Заменим его равносильным неравенством 2х2– 3х + 2 > 0. В этом случае любое число является решением неравенства, так как при всех значениях х функция у – 2х2– 3х + 2 принимает положительные значения.

Ответ можно записать по–разному:
1) х – любое число;
2) (–оо; +оо).

Если неравенство нестрогое, то не надо забывать включить в множество решений значения переменной, при которых квадратный трёхчлен обращается в нуль.

Пример 4. Найдём область определения выражения: 

Область определения выражения задаётся условиями:
Решив каждое из неравенств, получим:

Сделаем схематический рисунок:
Из рисунка видно, что множеством решений системы неравенств является промежуток от 2/3 до 2 (включая эти числа) без числа 1. Ответ можно записать по–разному:

Это конспект по алгебре на тему «Квадратные неравенства». Выберите дальнейшие действия:

• Перейти к следующему конспекту: 
• Вернуться к списку конспектов по Математике.
• Проверить знания по Математике.

Числовые неравенства — что это в математике

Ранее на уроках алгебры математическая модель в разных реальных ситуациях представлялась в виде уравнения или системы уравнений. Однако нередко при решении задач можно столкнуться с понятием числовых неравенств. Объяснение этого термина заключается в том, что:

при а > b значение выражения (а−b) является положительным;

если а < b, значение выражения (а–b) является отрицательным.

Благодаря свойствам, которыми обладают числовые неравенства, упрощается решение многих примеров. Закономерности и особенности действий с неравенствами полезно знать для работы с функциями.

Максимальное и минимальное значение функции на определенном промежутке связано с неравенствами. С помощью кратких выражений в виде неравенств также записывают область определения функций, описывают свойство возрастания или убывания функций.

Фактчек

• Метод интервалов позволяет упростить решение любого  неравенства, а также экономит время, которое ограничено на экзамене. 
• Чтобы решить неравенство с помощью метода интервалов необходимо найти нули функции, расставить их на числовой прямой, а после определить знак каждого полученного интервала. 
• Нули функции на прямой обозначаются точками, при этом закрашенные точки включают граничные значения в итоговый промежуток, а незакрашенные, напротив, исключают их из промежутка. 
• Для определения знака на каждом интервале необходимо подставить любое значение из этого интервала в функцию. 
• Для упрощения расстановки знаков можно пользоваться правилами чередования, определив знак только на одном интервале, а дальше менять знаки на каждом следующем. При этом если корень встречается в функции нечетное количество раз, то знак при переходе через эту точку на следующий интервал меняется, а если корень встречается четное количество раз, то знак на следующем интервале не меняется. 

Проверь себя

Задание 1. Какие знаки неравенства существуют?

1. Строгие
2. Нестрогие
3. Строгие и нестрогие 
4. Больше и меньше

Задание 2. Какой знак неравенства может встретиться в методе интервалов?

1. Только больше или меньше. 
2. Только “больше или равно” или “меньше или равно”. 
3. Только “больше” и “больше или равно” или только “меньше” и “меньше или равно”.
4. Любой. 

Задание 3. Какое утверждение верное?

1. Если в неравенстве строгий знак неравенства, то точки на числовой прямой закрашены.
2. Если в неравенстве строгий знак неравенства, то точки на числовой прямой выколоты.
3. Если в неравенстве нестрогий знак неравенства, то все точки на числовой прямой закрашены, даже если в неравенстве есть ограничения.
4. Если в неравенстве нестрогий знак неравенства, то все точки на числовой прямой выколоты. 

Задание 4. Какое утверждение верное? 

1. При переходе на числовой прямой на следующий интервал, знак на интервале всегда будет меняться.
2. Если корень встречается в неравенстве четное количество раз, то при переходе через него на следующий интервал знак не меняется.
3. Если корень встречается в неравенстве нечетное количество раз, то при переходе через него на следующий интервал знак не меняется.
4. Невозможно определить правильное чередование знаков на прямой, не подставляя значение из каждого интервала в функцию.

Задание 5. Если в неравенстве строгий знак неравенства, то какие скобочки могут встретиться в ответе? 

1. Круглые
2. Квадратные
3. И круглые, и квадратные
4. Ни один из перечисленных вариантов 

Ответы: 1. — 3 2. — 4 3. — 2 4. — 2 5. — 1 

Что такое иррациональное неравенство

Неравенство называется иррациональным, если в нем есть хотя бы один арифметический корень от некоторого выражения, зависящего от переменной \(x.\)

Примеры иррациональных неравенств:
$$x+\sqrt{x+3} \ge 2;$$
$$(x^2-9)*\sqrt{x^2-4} \lt 0;$$
$$\sqrt{x+3} \le 2\sqrt{5x-8};$$
$$\frac{1}{\sqrt{2x-5}}+x \gt \sqrt{2x-5};$$
$$\sqrt{x+9}\gt 2;$$

Первое, что хочется сделать, когда видишь неравенство с квадратным корнем — это возвести его в квадрат. Но возведение в квадрат очень опасная неравносильная операция, которая требует внимательного применения, так как могут появиться посторонние корни:

• Возводить неравенство в квадрат или в любую другую чётную степень можно только при условии, что обе части неравенства неотрицательны. Необходимо следить за ОДЗ.
• Если левая или правая часть иррационального неравенства отрицательна, то возводить в квадрат строго запрещено.
• В нечетную степень неравенство можно возводить без каких-либо ограничений.

Практика

Рассмотрим несколько примеров, чтобы на практике разобрать применение метода интервалов для решения неравенств.  

Пример 1. Решить неравенство x2 + 8x — 33 > 0. 

Шаг 1. Первым шагом необходимо найти нули функции, для этого приравниваем выражение слева к 0: x2 + 8x — 33 = 0. 

Шаг 2. Находим корни уравнения, получаем х = 3 и х = -11. 

Шаг 3. Расставляем полученные корни на числовой прямой. Поскольку знак неравенства строгий, то точки должны быть выколотыми:

Шаг 4. Дальше необходимо определить знаки на каждом интервале. Для этого подставим х = -12 в x2 + 8x — 33. Получаем: 

(-12)2 + 8*(-12) — 33 = 144 — 96 — 33 = 15. 

Получается положительное число, следовательно, интервал от минус бесконечности до -11 положительный. Поскольку все корни в неравенстве повторяются нечетное количество раз (по одному разу), то знаки чередуются. 

В ответ необходимо записать промежутки с положительным знаком, следовательно, ответом будет х ∈ (-∞; -11) U (3; +∞). 

Пример 2. Решить неравенство \(\frac{2х^2 + 22х — 204}{(х-3)(х+5)} ≤ 0\). 

1. Находим нули функции. 

Нули числителя: 2х2 + 22х — 204 = 0. Решая уравнение, получаем х = 6 и х = -17. 

Нули знаменателя: (х — 3)(х + 5) = 0, следовательно, х = 3 и х = -5. 

2. Расставляем полученные корни на числовой прямой. Нули числителя будут обозначены закрашенными точками, поскольку знак неравенства нестрогий. А вот нули знаменателя — выколотыми, поскольку знаменатель не может равняться 0, следовательно, и нули знаменателя не должны входить в итоговый промежуток. 

3. Определяем знак на крайнем левом промежутке, подставляя х=-20 в дробь:

\(\frac{2(-20)^2 + 22(-20) — 204}{(-20 -3)(-20 +5)} = \frac{2 * 400 — 440 — 204}{(-23) * (-15)} = 156345. \)

Следовательно, промежуток положительный. 

4. Поскольку каждый корень встречается один раз, то есть нечетное количество раз, то знаки будут чередоваться. 

В ответ необходимо включить отрицательные промежутки. Следовательно, ответом будет х ∈ .

Пример 3. Решить неравенство \(\frac{1}{х^2} ≥ \frac{1}{х+2}\)

1. Первым делом следует отметить, что знаменатели не могут быть равны 0, следовательно, х2 ≠ 0 и х + 2 ≠ 0, отсюда получаем х ≠ 0 и х ≠ -2. 

2. Теперь перенесем все части неравенства влево: 

\(\frac{1}{х^2} — \frac{1}{х+2} ≥ 0\). 

Приведем к общему знаменателю:

 \(\frac{х + 2 — х^2}{х^2 (х + 2)} ≥ 0\). 

Для решения неравенства будет удобнее, если перед х2 в числителе будет стоять положительный знак, для этого умножим неравенство на -1. 

При умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. 

Получаем:

\(\frac{х^2 — х — 2}{х^2 (х + 2)} ≤ 0\). 

Теперь найдем нули функции. 

Нули числителя: х2 — х — 2 = 0. Тогда х = -1 и х = 2. 

Нули знаменателя: х = 0 и х = -2. 

2. Расставим корни на числовой прямой, при этом нули числителя будут обозначены закрашенными точками, а нули знаменателя — выколотыми. 

3. Определим знак на крайнем левом промежутке, подставив для этого х = -3 в дробь: 

\(\frac{(-3)^2 — (-3) — 2}{(-3)^2 ((-3) + 2)} = \frac{9 + 3 — 2}{9 * (-1)} = \frac{10}{-9}\)

Промежуток отрицательный. 

4. Дальше расставляем знаки, чередуя их. При этом следует заметить, что х = 0 — корень, повторяющийся четное количество раз (поскольку у х2 четная степень). Следовательно, при переходе через эту точку знак функции меняться не будет. 

В ответ необходимо включить отрицательные промежутки, следовательно: х ∈ (-∞; -2) U . 

Давайте подведем итог. Для чего мы это изучили?Конечно же, эти знания пригодятся на экзаменах, а также в решении школьных примеров с 8 класса по 11 класс. Советуем после прочтения этой статьи попрактиковаться в рубрике «Проверь себя», чтобы закрепить полученные знания. После чего можете приступить к решению заданий посложнее, чтобы на экзамене у вас точно получилось решить подобные задания и набрать за них максимум баллов.

Иррациональные неравенства с квадратным корнем

Итак, любое неравенство, в котором есть переменная \(x\) под знаком корня, называется иррациональным. Корень может быть любой степени, но самый распространенный тип неравенств — с обыкновенным арифметическим квадратным корнем.

В этой главе мы постараемся подробно разобраться, откуда берутся все эти страшные совокупности и системы при решении иррациональных неравенств.

Чтобы избавиться от корня (еще говорят: избавиться от иррациональности), нужно возвести и левую, и правую части неравенства в квадрат. Но возведение в квадрат — это неравносильная операция. Другими словами, могут появиться посторонние корни. Поэтому при возведении в квадрат мы вынуждены накладывать дополнительные условия, которые делают наши преобразования равносильными. А так как все неравенства разные, то и условия всегда разные, что значительно усложняет задачу.

Для того, чтобы действительно научиться решать иррациональные неравенства, надо не учить алгоритмы, приведенные выше, а лучше разобраться, откуда все эти условия возникают. Тогда вы сможете решить любое, даже самое сложное иррациональное неравенство.

Свойства квадратного корня

Прежде чем приступить непосредственно к решению примеров, обсудим некоторые очевидные свойства квадратного корня.

Квадратный корень существует только от положительных чисел, невозможно извлечь корень из отрицательного числа. Поэтому подкоренное выражение всегда должно быть больше или равно нулю. Например, у корня \(\sqrt{x+4}\) будут вот такие ограничения:
$$x+4 \ge 0;$$
$$x \ge -4;$$

То, что мы сейчас нашли, еще называют ОДЗ (область допустимых значений) — это такие значения переменной \(x,\) при которых исходная функция, вообще говоря, существует.

При \(x \lt -4\) будет корень от отрицательного числа, что теряет всякий смысл.

Сам арифметический квадратный корень тоже всегда неотрицательный: нельзя посчитать из чего-нибудь корень и получить отрицательное число:
$$\sqrt{x+4} \ge 0;$$

В общем виде ограничения, которые преследуют квадратные корни, можно выписать вот так:
$$\sqrt{f(x)} \quad \Rightarrow \quad f(x) \ge 0;$$
$$\Downarrow$$
$$\sqrt{f(x)} \ge 0.$$

Про них ни в коем случае нельзя забывать.

Вспомнить все свойства квадратных корней можно в отдельной статье.

Начнем решать иррациональные неравенства с самого простого типа: когда квадратный корень от некоторой функции сравнивается с обыкновенным числом:

Определение, основные свойства

Числовые неравенства обладают рядом ключевых свойств:

1. При умножении или делении обеих частей неравенства на одинаковое число, большее нуля, в результате получается верное неравенство.
2. При умножении или делении обеих частей неравенства на одинаковое число, которое меньше нуля, следует изменить знак неравенства на противоположный, чтобы получить в результате верное неравенство.
3. Когда a и b являются положительными числами, a < b, справедливо следующее неравенство: 

Разберем несколько примеров, наглядно демонстрирующих действие перечисленных свойств числовых неравенств:

Запишем некое неравенство:

45 > 21

Умножим левую и правую части неравенства на число 10, которое является положительным, получим верное неравенство:

450 > 210

Рассмотрим следующее неравенство:

95 > 35

Попробуем разделить правую и левую части неравенства на одинаковое отрицательное число, к примеру, -5. Затем поменяем знак неравенства на противоположный:

В результате получается верное неравенство:

–19 < –7

Запишем два числа:

17 и 52

Заметим, что:

17 < 52

Если разделить единицу на каждое из этих чисел, которые являются частями неравенства, получим:

Данное неравенство является верным. В качестве доказательства можно вспомнить третье свойство числовых неравенств.

Алгоритмы решения иррациональных неравенств

Далее \(f(x)\) и \(g(x)\) — это функции, зависящие от переменной \(x;\)

Будьте внимательны, в иррациональных неравенствах даже знак неравенства может кардинальным образом изменить алгоритм решения у одинаковых, на первый взгляд, неравенств. Также у студентов часто возникают сложности с выбором строгого или нестрогого знака неравенства, поэтому мы приведем алгоритмы в некоторых спорных случаях для строгих и нестрогих неравенств по отдельности.

Иррациональные неравенства вида \(\sqrt{f(x)} \le a\)

Если \(a \ge 0:\)
$$\sqrt{f(x)} \le a \quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
f(x) \le a^2, \\
f(x) \ge 0.
\end{cases}$$
Если \(a \lt 0:\) корней нет.

Иррациональные неравенства вида \(\sqrt{f(x)} \le g(x)\)

$${ \small \sqrt{f(x)} \le g(x) \quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
f(x) \le g^2(x), \\
f(x) \ge 0, \\
g(x) \ge 0.
\end{cases}}$$
$${ \small \sqrt{f(x)} \lt g(x) \quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
f(x) \lt g^2(x), \\
f(x) \ge 0, \\
g(x) \ge 0.
\end{cases}}$$

Иррациональные неравенства вида \(\sqrt{f(x)} \ge g(x)\)

$${ \small \sqrt{f(x)} \ge g(x) \quad \Rightarrow \quad
\left[
\begin{gathered}
\begin{cases}
f(x) \ge g^2(x) \\
g(x) \ge 0;
\end{cases}
\\
\begin{cases}
f(x) \ge 0, \\
g(x) \lt 0;
\end{cases}
\end{gathered}
\right.}$$
$${ \small \sqrt{f(x)} \gt g(x) \quad \Rightarrow \quad
\left[
\begin{gathered}
\begin{cases}
f(x) \gt g^2(x) \\
g(x) \ge 0;
\end{cases}
\\
\begin{cases}
f(x) \ge 0, \\
g(x) \lt 0;
\end{cases}
\end{gathered}
\right. }$$

Иррациональные неравенства вида \(\sqrt{f(x)} \ge \sqrt{g(x)}\)

$${ \small \sqrt{f(x)} \ge \sqrt{g(x)} \quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
f(x) \ge g(x), \\
g(x) \ge 0.
\end{cases}}$$

$${ \small \sqrt{f(x)} \gt \sqrt{g(x)} \quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
f(x) \gt g(x), \\
g(x) \ge 0.
\end{cases}}$$

Иррациональные неравенства вида \(\sqrt{f(x)} \le \sqrt{g(x)}\)

$${ \small \sqrt{f(x)} \le \sqrt{g(x)} \quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
f(x) \le g(x), \\
f(x) \ge 0.
\end{cases}}$$

$${ \small \sqrt{f(x)} \lt \sqrt{g(x)} \quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
f(x) \lt g(x), \\
f(x) \ge 0.
\end{cases}}$$

Иррациональные неравенства вида \(g(x)*\sqrt{f(x)} \ge 0\)

$${ \small g(x)*\sqrt{f(x)} \ge 0 \quad \Rightarrow \quad
\left[
\begin{gathered}
\begin{cases}
g(x) \ge 0, \\
f(x) \ge 0;
\end{cases}
\\
f(x) = 0.
\end{gathered}
\right. }$$

$${ \small g(x)*\sqrt{f(x)} \gt 0 \quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
g(x) \gt 0, \\
f(x) \gt 0;
\end{cases}}
$$

Иррациональные неравенства вида \(g(x)*\sqrt{f(x)} \le 0\)

$${ \small g(x)*\sqrt{f(x)} \le 0 \quad \Rightarrow \quad
\left[
\begin{gathered}
\begin{cases}
g(x) \le 0, \\
f(x) \ge 0;
\end{cases}
\\
f(x) = 0.
\end{gathered}
\right. }$$

$${ \small g(x)*\sqrt{f(x)} \lt 0 \quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
g(x) \lt 0, \\
f(x) \gt 0;
\end{cases}}
$$

Корни нечётной степени

Возведение левой и правой частей неравенства в нечётную степень не накладывает никаких ограничений. Это равносильная операция, например:
$${ \small \sqrt{f(x)} \ge g(x) \quad \Rightarrow \quad f(x) \ge g^3(x).}$$
При решении иррациональных неравенств с арифметическими корнями нечётной степени можете смело возводить в нечётную степень, на корни неравенства это никак не повлияет.

Алгебра не бывает легкой

Порой кажется, что алгебра относится к тем предметам, которые просто невозможно понять. Но не стоит так отчаиваться. Не бывает недостижимых целей, иногда просто приложено недостаточно усилий. Поэтому даже эти уроки можно полюбить, если в достаточной степени разобраться с алгоритмом решения уравнений и с основными понятиями формул. Помимо этого требуется непрестанная практика в работе с примерами. Поэтому непременными условиями успешного обучения являются:

1. Внимательность.
2. Трудолюбие.
3. Усердие.

К данному предмету стоит подходить очень серьезно, если ребята стремятся добиться по-настоящему отличных результатов. Но довольно часто на пути к хорошим оценкам возникают довольно серьезные препятствия. И чаще всего они связаны с элементарным недопониманием тематики. А этого допускать нельзя, ведь очень скоро школьникам придется доказывать свои знания во время экзаменов. Помочь ученику разобраться со сложной для него наукой поможет решебник «Алгебра 8 класс Сборник задач Мордкович».