Промежутки знакопостоянства и корни функции
Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (то есть остается положительной или отрицательной), называются промежутками знакопостоянства функции.
О промежутках знакопостоянства функции можно сделать вывод, посмотрев на график функции. Например, возьмем график функции . Здесь при , при . В первом случае график расположен выше оси , во втором – ниже ее.
График линейной функции
Значения аргумента , при которых , называются корнями (или нулями) функции. Значения аргумента, при которых функция обращается в нуль – это абсциссы точек пересечения графика функции с осью : , , .
Корни функции
Итак, мы с вами изучили что такое функция, определили когда функция является четной, а когда нечетной, способы задания функции, область определения функции и область ее значений. А также дали понятие периодической функции и корней функции. Выяснили, что называется промежутками знакопостоянства функции. Привели примеры.
Как найти область определения функции
Для того, чтобы найти область определения функции, мы должны определить – где функция будет существовать, при каких значениях аргумента. Приведем примеры:
Пример 1
Найти область определения функции
Зададимся вопросом – при каких значениях функция будет существовать? Очевидно, что функция существует, если знаменатель дроби не равен нулю. То есть .
Для определения этого значения решим уравнение:
.
Находим, .
То есть функция не будет существовать при значении . Тогда областью определения функции (где она существует) – будут все значения кроме 5. Через интервалы можно записать так:
Пример 2
Найти область определения функции .
Здесь функция определена при любых значениях аргумента. То есть D(f) – все числа.
Пример 3
Определить область определения функции
.
Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть больше или равно нулю. Таким образом, мы можем записать:
Решим данное неравенство и получим: .
Тогда область определения функции будет интервал значений аргумента .
Способы задания функции
Функция может быть задана аналитически в виде формулы , где переменная – элемент множества значений аргумента, а переменная – соответствующее значение функции.
Например, формула определяет некоторую функцию, где каждому значению переменной , взятому из области определения функции, соответствует единственное значение переменной .
Функция полностью определяется заданием множества пар , где принимает все значения из , а – соответствующие значения функции.
Однако не всякое множество точек координатной плоскости является графиком некоторой функции. Например, если мы рассмотрим следующий график, то увидим, что значению соответствуют три значения , и, следовательно, такое соответствие не является функцией.
График не является графиком функции
Для того, чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая, параллельная оси , пересекалась с указанным графиком не более чем в одной точке.
Четные и нечетные функции
Функция называется четной, если она обладает следующими двумя свойствами:
- Область определения этой функции симметрична относительно точки О (то есть, если точка принадлежит области определения, то точка также принадлежит области определения).
- Для любого значения , принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство .
- График четной функции – пример.
Функция называется нечетной, если:
- Область определения этой функции симметрична относительно точки O.
- Для любого значения , принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство .
- График нечетной функции – пример.
Заметим, что не всякая функция является четной или нечетной. Например, каждая из функций и не является ни четной, ни нечетной.
Пример 1
Доказать, что функция не является ни четной, ни нечетной.
Доказательство.
Областью определения данной функции является вся числовая прямая, то есть условие 1 выполнено. Проверяем условие 2.
Чтобы доказать, что функция не является четной, нам нужно доказать, что условие 2 для четной функции не выполняется, то есть что .
Пусть , тогда . Проверяем:
Пример 2
Определите четность или нечетность функции:
Решение: область определения данной функции – вся числовая ось, кроме точки (на ноль делить нельзя). Найдем .
Получим: . Вынесем минус за скобки:
Отсюда выходит, что , то есть выполняется условие для нечетной функции. А, значит, функция – нечетная функция.
Пример 3
Определить четность или нечетность функции:
Решение: Первое условие о симметричности области определения функции выполняется, так как область определения функции . Переменим знак аргумента функции и упростим:
Получается, что . То есть функция
Монотонность функции
Функция называется возрастающей на данном числовом промежутке , если большему значению аргумента соответствует большее значение функции . Это значит, что для любых и из промежутка , таких, что , выполнено неравенство .
Функция называется убывающей на данном числовом промежутке , если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции . Это значит, что для любых и из промежутка , таких, что , выполнено неравенство .
Функция только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной на этом промежутке.
О монотонности функции можно судить по ее графику. Например, функция, график которой изображен ниже является монотонно возрастающей на всей числовой оси.
Монотонно возрастающая функция
А вот эта функция является монотонно убывающей.
Монотонно убывающая функция – график функции.
А теперь рассмотрим вот такой график функции – на ней функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке .
График функции которая монотонно убывает и монотонно возрастает на определенных интервалах области определения функции.
Пример
Докажите, что функция, заданная формулой , где , возрастающая.
Решение: Пусть , где и . Тогда
Поскольку , то и , а, значит,
Область определения и область значений функции
Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют множество значений функции. Для функции приняты обозначения: – область определения функции, – множество значений функции.
– значение функции в точке .
Если область определения функции и область ее значений определены в множестве рациональных чисел, то функцию называют числовой.
Элементы множества еще называют значениями аргумента, а соответствующие им элементы – значениями функции.
Если функция задана формулой и область определения функции не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.
Например, область определения функции, заданной формулой , состоит из всех чисел, кроме нуля.