Вопросы для повторения к главе III
1. Дайте определение параллельных прямых. Какие два отрезка называются параллельными?
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.
2. Что такое секущая по отношению к двум прямым? Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.
Прямая с называется секущей по отношению к прямым α и b, если она пересекает их в двух точках.
Внутренние накрест лежащие углы: 3 и 6, 4 и 5 — попарно равны.
Внешние накрест лежащие углы: 1 и 8, 2 и 7 — попарно равны.
Внутренние односторонние углы: 4 и 6, 3 и 5 — их сумма 180°.
Внешние односторонние углы: 1 и 7, 2 и 8 — их сумма 180°.
Соответственные углы: 1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8 — попарно равны.
3. Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Д а н ос ∩ α, с ∩ b
∠1 = ∠2
Д о к а з а т ьα||b
Д о к а з а т е л ь с и в о
Из середины О отрезка АВ проведём перпендикуляр ОН к прямой α. На прямой b от точки В отложим отрезок ВН1, равный отрезку АН и проведём отрезок ОН1. Треугольники ОНА и ОН1В равны по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АН = ВН1, ∠1 = ∠2), поэтому ∠3 = ∠4 и ∠5 = ∠6. Из равенства ∠3 = ∠4 следует, что точка Н1 лежит на продолжении луча ОН, то есть точки Н, О и Н1 лежат на одной прямой, а из равенства ∠5 = ∠6 следует, что угол 6 — прямой (так как угол 5 — прямой). Итак, прямые α и b перпендикулярны к прямой НН1, поэтому они параллельны.
О т в е т: α||b.
4. Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Д а н ос ∩ α, с ∩ b
∠1 = ∠2
Д о к а з а т ьα||b
Д о к а з а т е л ь с и в о
Так как углы 2 и 3 — вертикальные, то ∠2 = ∠3. Из этих двух равенств следует, что ∠1 = ∠3. Но углы 1 и 3 — накрест лежащие, поэтому прямые α и b параллельны.
О т в е т: α||b.
5. Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Д а н ос ∩ α, с ∩ b
∠1 + ∠4 = 180°
Д о к а з а т ьα||b
Д о к а з а т е л ь с и в о
Так как углы 3 и 4 — смежные, то ∠3 + ∠4 = 180°. Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые α и b параллельны.
О т в е т: α||b.
6. Расскажите о практических способах проведения параллельных прямых.
На практике параллельные прямые проводят с помощью: чертёжного угольника и линейки, рейсшины (в чертёжной практике), малки (две деревянные планки, скреплённые шарниром) при столярных работах.
7. Объясните, какие утверждения называются аксиомами. Приведите примеры аксиом.
Аксиомы — утверждения о свойствах геометрических фигур, принимаемые в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и вообще строится вся геометрия.
Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.
8. Докажите, что через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной.
Утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, не может быть доказано на основе остальных аксиом и само является аксиомой.
9. Сформулируйте аксиому параллельных прямых.
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
10. Какое утверждение называется следствием? Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую.
Следствия — утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем.
Пусть прямые α и b параллельны и прямая с пересекает прямую α в точке М. Если бы прямая с не пересекала прямую b, то через точку М проходили бы две прямые (прямые α и с), параллельные прямой b. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых, и, значит, прямая с пересекает прямую b.
| ← Предыдущая | Следующая → |
Геометрия 9 класс (Атанасян) Учебник 2023. ОГЛАВЛЕНИЕ
Главы 6-9 (8-й класс) смотрите тут: https://8класс.рф/geometrija-8-atanasjan-uchebnik-2023/
Глава X. Векторы.
§ 1. Понятие вектора.(84. Понятие вектора. 85. Равенство векторов. 86. Откладывание вектора от данной точки. Практические задания. Задачи №№ 926-940.)
Глава XI. Метод координат.
§ 1. Координаты вектора.(93. Разложение вектора по двум не кол линеарным векторам. 94. Координаты вектора. Задачи №№ 998-1015.)
Глава XII. Соотношения между сторонами и углами треугольника.
Скалярное произведение векторов.
§ 1. Синус, косинус, тангенс, котангенс угла.
(100. Синус, косинус, тангенс, котангенс. 101. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения. 102. Формулы для вычисления координат точки. 103. Угловой коэффициент прямой. Задачи.)
§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника.
(104. Теорема о площади треугольника. 106. Теорема синусов. 106. Теорема косинусов. 107. Решение треугольников. 108. Измерительные работы. Задачи.)
§ 3. Скалярное произведение векторов.
(109. Угол между векторами. 110. Скалярное произведение векторов. 111. Скалярное произведение в координатах. 112. Свойства скалярного произведения векторов. Задачи.)
Вопросы для повторения к главе XII. Дополнительные задачи.
Глава XIII. Длина окружности н площадь круга.
§ 1. Правильные многоугольники.
(113. Правильный многоугольник. 114. Окружность, описанная около правильного многоугольника. 115. Окружность, вписанная в правильный многоугольник. 116. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписав ной окружности. 117. Построение правильных многоугольников. Задачи.)
§ 2. Длина окружности и площадь круга.
(118. Длина окружности. 119. Радианная мера угла. 120. Площадь круга. 121. Площадь кругового сектора. Задачи.)
Вопросы для повторения к главе XIII. Дополнительные задачи.
Глава XIV. Преобразования плоскости. Движения.
§ 1. Преобразования плоскости.
(122. Отображение плоскости на себя. 123. Понятие движения плоскости. 124. Наложения и движения. Задачи.)
§ 2. Параллельный перепое и поворот.
(125. Параллельный перепое. 126. Поворот. Задачи.)
§ 3. Симметрии фигур.
(127. Понятие симметрии фигур. 128. Практические приложения симметрий. 129, Применение движений к решению задач. Задачи.)
Вопросы для повторения к главе XIV. Дополнительные задачи.
Глава XV. Преобразование подобия. Подобие фигур.
§ 1. Подобие многоугольников.
(130. Представление о подобных фигурах. 131. Подобные многоугольники. 132. Теоремы о периметрах и площадях подобных многоугольников. Задачи.)
§ 2. Преобразование подобия.
(133. Гомотетия. 134. Свойства гомотетии. 135. Подобие произвольных фигур. Задачи.)
§ 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач.
(136. Применение подобия к доказательству теорем. 137. Применение подобия к решению задач. Задачи.)
Вопросы для повторения к главе XV. Дополнительные задачи.
Вы смотрели: Геометрия 8 Атанасян Учебник 2023. Оглавление и ознакомительные фрагменты учебника 14-го издания. Цитаты из пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения.
Как выполнить домашнюю работу по геометрии на «5» — сайт ГДЕ ГДЗ
Любой родитель заинтересован в высокой успеваемости своего ребенка. Однако, как помочь школьнику с решением сложные геометрических задач. Самый удобный, эффективный и притом экономный вариант – онлайн-решебники сайта ГДЕ ГДЗ, которые можно посматривать с телефона, планшета, компьютера и находить ответы в один клик по номерам в таблице.
Не следует думать, что готовые домашние задания по геометрии за 7-9 класс станут всего лишь базой для бездумного списывания: по ним школьник сможет просмотреть и уяснить для себя алгоритм выполнения той или иной задачки по предмету. Сами родители смогут не только помогать ребятам, но и контролировать их текущую успеваемость.
Сайт ГдеГдз.Ру обладает несколькими важными достоинствами, значимыми для пользователей:
- База решебников обновляется регулярно, в связи с чем номера ответов соответствуют последнему изданию учебника Атанасяна Л.С.;
- Часто на один ответ приходится несколько вариантов решения одной задачки;
- На сайте нет рекламных сообщений и видеороликов, которые мешают просматривать материал, а также ссылок на сторонние ресурсы.
В целях экономии времени пользователей мы сделали возможным использование ресурса с телефона, планшета, компьютера. При наличии доступа в интернет решения и ответы можно использовать в любое время суток бесплатно и без регистрации.
Кому пригодится данное пособие
Использовать ГДЗ по геометрии Атанасяна для учащихся средней школы могут:
- Родители, которые часто помогают своим детям в выполнении домашних заданий. Однако бывает сложно сразу понять тему и найти верные ответы. Онлайн решебник поможет проконтролировать правильность выполнения работы и объяснить ребёнку решение задачи любой сложности.
- Учащиеся. Школьникам решебник помогает повышать уровень знаний при выполнении домашних заданий во время повышенной учебной нагрузки. Пособие помогает в подготовке к олимпиадам.
- Школьники, которые делают упор на другие дисциплины. Когда нужны высокие оценки по геометрии, но времени на глубокое изучение предмета не хватает, поможет выполнение домашних заданий с помощью сборника готовых ответов. Такой подход позволяет снизить риск получения низкой оценки, а также позволяет быстро понять принципы решения практических задач и доказательства теорем.
- Учителя и репетиторы. При проверке большого количества тетрадей приходится автоматизировать работу. Готовые решения помогут справиться с большими объемами проверяемых материалов.
Геометрия 9 класс Атанасян Учебник 2014-2022. ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава X. Метод координат.
(89. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. 90. Координаты вектора)
(91. Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца. 92. Простейшие задачи в координатах)
(93. Уравнение линии на плоскости. 94. Уравнение окружности. 95. Уравнение прямой. 96. Взаимное расположение двух окружностей)
Вопросы для повторения к главе X.
Дополнительные задачи
(97. Синус, косинус, тангенс, котангенс. 98. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения. 99. Формулы для вычисления координат точки)
(100. Теорема о площади треугольника. 101. Теорема синусов. 102. Теорема косинусов. 103. Решение треугольников. 104. Измерительные работы)
(105. Угол между векторами. 106. Скалярное произведение векторов. 107. Скалярное произведение в координатах. 108. Свойства скалярного произведения векторов)
Вопросы для повторения к главе XI.
Дополнительные задачи
Глава XII. Длина окружности и площадь круга.
§ 1. Правильные многоугольники (109. Правильный многоугольник. 110. Окружность, описанная около правильного многоугольника. 111. Окружность, вписанная в правильный многоугольник. 112. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности. 113. Построение правильных многоугольников)
§ 2. Длина окружности и площадь круга (114. Длина окружности. 115. Площадь круга. 116. Площадь кругового сектора)
Вопросы для повторения к главе XII.
Дополнительные задачи
Глава XIII. Движения.
§ 1. Понятие движения (117. Отображение плоскости на себя. 118. Понятие движения. 119*. Наложения и движения)
§ 2. Параллельный перенос и поворот (120. Параллельный перенос. 121. Поворот)
Вопросы для повторения к главе XIII.
Дополнительные задачи
Глава XIV. Начальные сведения из стереометрии.
§ 1. Многогранники (122. Предмет стереометрии. 123. Многогранник. 124. Призма. 125. Параллелепипед. 126. Объём тела. 127. Свойства прямоугольного параллелепипеда. 128. Пирамида)
§ 2. Тела и поверхности вращения (129. Цилиндр. 130. Конус. 131. Сфера и шар)
Вопросы для повторения к главе XIV.
Дополнительные задачи.
Задачи повышенной трудности (Задачи к главе X. Задачи к главе XI. Задачи к главе XII. Задачи к главе XIII. Задачи к главе XIV).
Вы смотрели: Ознакомительная версия с цитатами из учебника для принятия решения о покупке книги: Геометрия. 7-9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина — М.: Просвещение, 2014.
СОДЕРЖАНИЕ страницы:
ГДЗ по геометрии 7 8 9 класс Атанасян – ответы и решебник.
Атанасян Левон Сергеевич – выдающийся математик, профессор, написавший за свою жизнь более 40 различных методических пособий и научно-методических комплексов, в том числе, учебников по геометрии за 7 класс для учащихся общеобразовательных школ. Большинство учеников 7-9 классов занимаются именно по его учебникам. В качестве дополнительного пособия рекомендуется иметь решебник по геометрии за 7-9 класс Атанасян. Он пригодится в те моменты, когда самостоятельно решить задачу никак не получается.
Решебник по геометрии 7-9 класс Атанасян.
Сборник ответов по геометрии за 7-9 класс Атанасян включает в себя готовые тексты упражнений за три года обучения. Бесспорно, очень удобно иметь единый сборник ответов на несколько лет учебы в средней и старшей школе, чтобы в будущем не было необходимости задумываться о приобретении новых ГДЗ по геометрии за 8 или 9 класс. Ведь решебник по геометрии за 7-9 класс Атанасян может понадобиться в любой момент, в каком бы классе не учился ваш ребенок.
Очень удобно иметь сборник ответов по геометрии за 7-9 класс Атанасян, если в вашей семье двое детей-погодков, которые учатся в соседних классах или с разницей в возрасте 2-3 года. Ведь с ГДЗ по геометрии за 7-9 класс нет необходимости покупать каждому из детей отдельный решебник, а можно пользоваться одним на двоих, находя в нем как ответы по геометрии за 7 класс, так и ответы по геометрии за 8 или 9 классы.
Решебник по геометрии за 7-9 класс Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. содержит в себе не просто ответы к задачам. В нем подробно объясняется ход выполнения каждого упражнения, с вычислениями и чертежами, что позволяет даже в случае списывания вникнуть в суть задания, что, в свою очередь, сделает возможным самостоятельное решение аналогичного упражнения.
Смотрите и списывайте ответы к геометрии за 7 8 9 класс к учебнику Атанасяна.
Родителям сборник ответов по геометрии за 7-9 класс Атанасян позволит проверить правильность выполнения домашнего задания, а ученику – найти подсказку в случае затруднений. Конечно, использовать ГДЗ по геометрии за 7-9 класс Атанасян для бездумного списывания на протяжении всей учебы не стоит, ведь в голове от подобной «самостоятельной работы» знаний не прибавится. Лучше всего прибегать к его помощи только тогда, когда сделать домашнее задание самому совершенно никак не получается. Именно для этого создан решебник по геометрии за 7-9 класс Атанасян.
А если геометрия дается с трудом – сборник ответов по геометрии за 7-9 класс Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. станет самой настоящей палочкой-выручалочкой. Нет смысла корпеть над ненавистным предметом изо дня в день, лишая себя развлечений и прогулок. Гораздо проще воспользоваться ГДЗ по геометрии за 7-9 класс Атанасян, а потом хорошенько отдохнуть, чтобы пойти на следующий день в школу со свежей головой. Известно, что после отдыха и мозг работает продуктивнее, так может быть, более полезным будет наконец-то расслабиться, а уж потом с новыми силами начать вгрызаться в гранит науки, точнее – геометрии, которую большинство учеников в 7-9 классах изучают по учебнику Атанасяна.