Указания по использованию
Чтобы использовать калькулятор для сложения и вычитания целых и десятичных чисел, введите заданное уравнение и нажмите «Вычислить». Калькулятор вернет окончательный ответ, а также пошаговый алгоритм решения с указанием конечного знака для каждой операции.
Поле ввода принимает следующие символы:
- Целые числа, например, 3, 6, 144, -15.
- Десятичные числа, где целая часть числа и десятичная часть разделены десятичной точкой (или запятой). Например, 3,0 , 8,978 , 123,901 , -12,36.
- Знак операции сложения +.
- Знак операции вычитания -.
- Скобки, (). Скобки, или круглые скобки, всегда должны идти парами, то есть уравнение должно содержать как открывающую, так и закрывающую скобку. Например, 3 + (-4), -98 — (-5,67). Вы не можете ввести 5 + (-3, так как это уравнение содержит только одну скобку. Символы, заключенные в скобки, всегда должны заканчиваться числом, а не знаком операции. Например, (3 — 4 + 5) является допустимым вводом, а (3 — 4 +) 5 — нет. Можно также использовать квадратные скобки, [], или фигурные скобки, {}, но калькулятор автоматически преобразует их в круглые скобки, ().
Вы можете использовать столько последовательных знаков операций, сколько необходимо, не разделяя их пробелами или другими символами. Для каждой операции калькулятор определит и продемонстрирует последний знак операции. Ниже приведены примеры правильного ввода:
- -33 + 15 — 1- — 2 (равно -17)
- (-33) + 15 — 1 — (-2) (равно -17)
- (-33 + 15 -1) — — 2 (равно -17)
- -33 + 15 — 1- — — — — — + 2 (равно -21)
Поле ввода принимает до 60 символов.
Чтобы очистить поле ввода, нажмите «Очистить».
Примеры из реальной жизни
Сложение и вычитание целых чисел широко используется в нашей повседневной жизни практически для всех видов деятельности. Подсчет сдачи, подсчет количества людей, подсчет количества ингредиентов в рецепте и множество других примеров.
Количество людей в очереди
Представьте, что вы стоите в длинной очереди и считаете количество людей перед собой. Когда вы пришли, перед вами было 13 человек. Позже выяснилось, что один человек держал место для группы людей, и к нему присоединились еще 4 человека. После этого пара, которая была прямо перед вами, рассердилась и покинула очередь. Сколько человек сейчас перед вами?
Решение
Чтобы найти ответ на эту задачу, нам нужно составить и решить уравнение. Нам дано начальное число людей — 13. Затем к ним присоединились 4 человека, что математически можно записать как +4. Затем пара, или 2 человека, ушли. Это можно математически выразить как -2. Наконец, мы получаем следующее уравнение:
13 + 4 — 2 = 15
Ответ
Перед вами 15 человек.
Сложение и вычитание целых чисел
Сложение и вычитание целых чисел означает перемещение вправо или влево на числовой прямой. Чтобы прибавить целое число, переместитесь на соответствующее количество шагов вправо (для положительных целых чисел) или влево (для отрицательных целых чисел) на числовой прямой. Чтобы вычесть целое число, добавьте противоположное целое число. Целые числа называются противоположными, если они имеют одинаковое абсолютное значение, но разный знак. Например, 4 и -4, 12 и -12, 1 и -1.
Сложение положительных чисел
Сложение положительных чисел — это простая операция сложения. Например, прибавление 3 означает, что вам нужно сделать 3 шага вдоль числовой прямой в положительном направлении (вправо). Прибавление 14 означает, что вам нужно сделать 14 шагов в положительном направлении, и так далее. Некоторые примеры сложения целых положительных чисел показаны ниже:
0 + 3 = 3
4 + 3 = 7
-1 + 12 = 11
-5 + 1 = -4
Вычитание положительных чисел
Вычитание положительных чисел — это простая операция вычитания. Чтобы вычесть положительное число, переместитесь на соответствующее количество шагов в отрицательном направлении (влево) вдоль числовой прямой. Примеры вычитания целых положительных чисел показаны ниже:
0 — 1 = -1
12 — 9 = 3
44 — 46 = -2
-5 — 5 = -10
Сложение отрицательных чисел
Отрицательные числа представляют собой движение в отрицательном направлении (влево) на числовой прямой. Это означает, что прибавление отрицательного числа будет выполняться путем перемещения вдоль числовой линии влево:
5 + (-2) = 3
14 + (-12) = 2
-2 + (-13) = -15
Поскольку прибавление отрицательного числа выполняется путем перемещения вдоль числовой прямой в отрицательном направлении, эта операция эквивалентна вычитанию положительного числа:
3 + (-3) = 3 — 3 = 0
Вычитание отрицательных чисел
Чтобы вычесть отрицательное число, прибавьте к нему противоположное число. Это означает, что вычитание отрицательного числа равносильно прибавлению соответствующего положительного числа. Например:
-4 — (-11) = -4 + 11 = 7
Правила сложения и вычитания целых чисел
Правила сложения и вычитания целых чисел можно сформулировать следующим образом:
- Два одинаковых знака (+ + или — — ) дают положительный знак, +.
- Два противоположных знака (+ — или — +) дают отрицательный знак, -.
Старая и новая редакции
- ← Предыдущее
- Следующее →
Выберите год учебника
● Все года
Стр. 32 учебника 2011-2022:
Стр. 32 учебника 2023-2024:
|
8 — 7 = 1 8 — 6 = 8 — 5 = 8 — 4 = |
9 — 8 = 9 — 7 = 9 — 6 = 9 — 5 = |
Стр. 32 учебника 2011-2022:
Стр. 32 учебника 2023-2024:
В нашем справочнике повтори состав числа 8 и состав числа 9.
Стр. 32 учебника 2011-2022:
Стр. 32 учебника 2023-2024:
Решение
|
8 — 7 = 1 8 — 6 = 2 8 — 5 = 3 8 — 4 = 4 |
9 — 8 = 1 9 — 7 = 2 9 — 6 = 3 9 — 5 = 4 |
Стр. 32 учебника 2011-2022:
Стр. 32 учебника 2023-2024:
1.
| 9 — 6 | 6 — 4 | 8 — 6 | 10 — 3 + 2 |
| 8 — 5 | 7 — 3 | 9 — 8 | 10 — 4 + 3 |
Стр. 32 учебника 2011-2022:
Стр. 32 учебника 2023-2024:
Пользуйся числовой прямой.
Стр. 32 учебника 2011-2022:
Стр. 32 учебника 2023-2024:
Решение
| 9 — 6 = 3 | 6 — 4 = 2 | 8 — 6 = 2 | 10 — 3 + 2 = 9 |
| 8 — 5 = 3 | 7 — 3 = 4 | 9 — 8 = 1 | 10 — 4 + 3 = 9 |
Пояснение
1, 2 и 3 столбики — пользуйся числовой прямой или вспомни состав чисел.
|
10 — 3 + 2 7 + 2 = 9 |
|
10 — 4 + 3 6 + 3 = 9 |
Стр. 32 учебника 2011-2022:
Стр. 32 учебника 2023-2024:
2. 
Стр. 32 учебника 2011-2022:
Стр. 32 учебника 2023-2024:
Уменьшить на 4. Значит, вычитание. Знак минус.
Увеличить на 2. Значит, сложение. Знак плюс.
Пользуйся числовой прямой.
Стр. 32 учебника 2011-2022:
Стр. 32 учебника 2023-2024:
|
6 — 4 = 2 8 — 4 = 4 5 — 4 = 1 7 — 4 = 3 10 — 4 = 6 9 — 4 = 5 4 — 4 = 0 |
7 + 2 = 9 5 + 2 = 7 8 + 2 = 10 6 + 2 = 8 0 + 2 = 0 |
Стр. 32 учебника 2011-2022:
Стр. 32 учебника 2023-2024:
3. 1) В одной книге 6 сказок, а в другой — на 2 сказки меньше. Сколько … ?
2) В одной книге 6 сказок, а в другой — 4 сказки. Сколько всего сказок в этих двух книгах?
Стр. 32 учебника 2011-2022:
Стр. 32 учебника 2023-2024:
Вспомни, из каких частей состоит задача и как оформить её решение.
Стр. 32 учебника 2011-2022:
Стр. 32 учебника 2023-2024:
Решение
Задача 1
Ставлю вопрос к задаче: Сколько сказок в другой книге?
Решаю задачу:
6 — 2 = 4 (с.)
Ответ: в другой книге 4 сказки.
Задача 2
6 + 4 = 10 (с.)
Ответ: всего: 10 сказок.
Пояснение
к задаче 1
На 2 меньше. Вычитание. Знак минус.
к задаче 2
Сколько всего? Сложение. Знак плюс.
Стр. 32 учебника 2011-2022:
Стр. 32 учебника 2023-2024:
4.
|
1) У Васи было . Он купил 3 тетради. Сколько тетрадей стало у Васи? |
2) У Ани было . Она подарила 2 матрешки. Сколько матрёшек отсталось у Ани? |
Стр. 32 учебника 2011-2022:
Стр. 32 учебника 2023-2024:
Вспомни состав числа 6 и состав числа 10.
Пользуйся числовой прямой, если ты не помнишь состав чисел 6 и 10.
Стр. 32 учебника 2011-2022:
Стр. 32 учебника 2023-2024:
Решение
Задача 1
7 + 3 = 10 (т.)
Ответ: стало 10 тетрадей.
Задача 2
6 — 2 = 4 (м.)
Ответ: осталось 4 матрёшки.
Пояснение
к задаче 1:
Сколько всего? Сложение. Знак плюс.
к задаче 2:
На 2 меньше. Вычитание. Знак минус.
Стр. 32 учебника 2011-2022:
Стр. 32 учебника 2023-2024:
5. Начерти любой четырёхугольник и проведи в нём 2 отрезка так, чтобы получилось 8 треугольников.
Стр. 32 учебника 2011-2022:
Стр. 32 учебника 2023-2024:
В нашем справочнике повтори материал о многоугольниках, не забудь про треугольники..
Стр. 32 учебника 2011-2022:
Стр. 32 учебника 2023-2024:
Решение
|
Четырёхугольник |
8 треугольников |
Пояснение
|
Веимательно рассмотри полученные треугольникки |
Стр. 32 учебника 2011-2022:
Стр. 32 учебника 2023-2024:
| 8 — 5 = | 9 — 3 = |
| 8 — 2 = | 9 — = 1 |
Стр. 32 учебника 2011-2022:
Стр. 32 учебника 2023-2024:
Вспомни состав числа 8 и состав числа 9.
Стр. 32 учебника 2011-2022:
Стр. 32 учебника 2023-2024:
Решение
| 8 — 5 = 3 | 9 — 3 = 6 |
| 8 — 2 = 6 | 9 — 8 = 1 |
Пояснение
Стр. 32 учебника 2011-2022:
Стр. 32 учебника 2023-2024:
Стр. 32 учебника 2011-2022:
Стр. 32 учебника 2023-2024:
Вспомни состав числа 8, состав числа 9 и состав числа 10.
Сложение и вычитание квадратных корней, простейшие случаи
Пример 1. Сложить √4 + √64. Казалось бы числа под знаком корня разные, и складываться не должны, но √4 = 2, а √64 = 8. Получаем 2√1 + 8√1 или 2 + 8. Результат равен 10. Ответ: √4 + √64 = 10. Это один из примеров того, как складывать разные корни. К сожалению, так легко получается далеко не всегда.
Пример 2. Сложить 7√3 + 5√3. Выносим √4 за скобки, получаем (7+5) √3 или 12√3.
Ответ: 7√3 + 5√3 = 12√3.
Пример 3. Вычесть √64 — √4.
Т. к. √64 = 8, а √4 = 2, получаем √64 — √4 = 8 – 2 = 6.
Ответ: √64 — √4 = 6.
Пример 4. Вычесть 7√3 — 5√3.
Выносим √3 за скобки, получаем (7-5) √3 = 2√3.
Ответ: 7√3 — 5√3 = 2√3.
Пример 5. Сложить √45 + 4√5.
Число √45 можно представить в виде √(9*5). Как известно √9 = 3, выносим это число из-под знака корня. Получаем 3√5. Нам нужно будет выполнить сложение 3√5 + 4√5. Подкоренное выражение одинаковое, поэтому действие допустимо. Выносим √5 за скобки и получаем (3+4)√5 = 7√5.
Ответ: √45 + 4√5 = 7√5.
Пример.6. Вычислить выражение 6√40 — 3√10 + √5.
Упрощаем число 6√40. Разлагаем √40 на множители: 6√(4*10). Выносим 4 из-под корня: 6*2√10. Перемножаем 6 и 2, в результате имеем 12√10.
Выражение 6√40 — 3√10 + √5 записываем в виде 12√10 — 3√10 + √5. У первых двух членов общее подкоренное число √10, выносим его за скобки и получаем (12-3)√10 + √5 = 9√10 +√5. Больше упрощать некуда.
Ответ: 6√40 — 3√10 + √5 = 9√10 +√5.
Общие правила сложения и вычитания корней
Правила
В общем случае порядок действий при сложении и вычитании квадратных корней следующий:
- Соединяем корни посредством знаков, обозначающих соответствующие операции. Допустим нам нужно из корня X вычесть корень Y. Записываем выражение √X — √Y. Если нам требуется сложить, то выражение будет √X + √Y
- Приводим выражения к простейшей форме, т. е. если между ними имеются подобные, то делаем приведение. Так называется математическая операция, при которой коэффициенты подобных членов берутся со знаками соответствующих членов, заключаются в скобки, затем общий корень выводится за их пределы. Упрощение полученного коэффициента происходит по общим правилам математики.
Вся сложность заключается в упрощении подкоренного выражения. Когда приступаешь к этому, не известно получится ли его упростить. Окончательно решить вопрос можно лишь попробовав подобное сделать.
Приближённое вычисление квадратного корня
Приближённое сложение и вычитание корней проводится следующим образом:
Сначала на калькуляторе вычисляем точное значение каждого из корней, округляем их до требуемой степени точности, после чего проводим сложение приближённых чисел.
Иногда это является единственным доступным способом решить задачу, а иногда используется в качестве проверки результата, полученного иным путём.
Пример 9. Сложить √7 + √5. Сложение этих квадратных корней проводим, используя калькулятор точное значение √7 = 2,645751, и точное значение √5 = 2,236067.
Округляем полученные числа и складываем их 2,65 + 2,24 = 4,89.
Важно. Выражения √(X+Y) = √X +√Y и√(X-Y) = √X — √Y абсолютно не верны
Чтобы убедиться в этом, давайте посчитаем сколько будет √(9+16) = √25 = 5.
Если складывать, числа как отдельные корни, то, √9 +√16 = 3 + 4 = 7.
Посмотрите, сколько будет, если √(16-9) = √7 ≈ 2,65, При вычитании чисел, как отдельных корней √16 — √9 = 4 – 3 = 1.
Общий приём сложения однозначных чисел с переходом через десяток
Итак, поговорим о сложении однозначных чисел. Ты уже знаешь, что обозначает это действие. Давай решим пример.
6 + 3 =
Посмотри, первое слагаемое в этом примере 6. Давай отсчитаем на счетах шесть косточек.
Второе слагаемое 3. Добавим три косточки.
Теперь пересчитаем все косточки вместе. Получим 9.
Значит, 6 + 3 = 9.
Это очень простой пример на сложение числа 6 с однозначными числами. Главная особенность таких примеров в том, что их результат не больше 10.
На счетах каждая палочка имеет по 10 косточек – ровно один десяток. Этого достаточно, чтобы решить любой пример на сложение в пределах 10.
Но сегодня мы будем учиться решать математические выражения другого вида. Сейчас мы разберем один пример и определим в чем заключается их особенность.
Разнообразие растений
Задание 1 (стр. 31)
На каждом из этих рисунков папа Сережи и Нади изобразил представителей одной из групп растений. Пронумеруй рисунки в соответствии со списком.
Расскажи по рисункам о разнообразии растений.
Ответ
1. Водоросли. 2. Мхи. 3. Папоротники. 4. Хвойные. 5. Цветковые.
Растения отличаются друг от друга окраской и формой стеблей, листьев, цветков и плодов, продолжительностью жизни и другими особенностями.
Водоросли живут в воде и бывают разных форм и расцветок. Мхи любят влажность и не имеют ни корней, ни цветков, плодов и семян. У папоротников большие красивые листья, есть корни и нет цветков, плодов и семян. У хвойных растений вместо листьев хвоинки. У цветковых растений есть все органы: стебли, листья, корни, цветки и плоды с семенами.
Все растения важны для пищевых цепочек в природе.
Задание 2 (стр. 31-32)
Выполните задания для групповой работы в учебнике и рабочей тетради.
1) Запишите задание на классификацию растений для своих одноклассников.
2) Посчитайте растения на рисунке учебника (с.75) и запишите результаты.
3) Используя информацию из текста учебника, закончи заполнение таблицы.
Проанализируйте заполненную таблицу. Какая группа растений наиболее богата видами? В какой группе меньше всего видов? Перечислите группы растений: в порядке увеличения числа видов; в порядке уменьшения числа видов.
4) Запишите названия растений, которые вы определили.
С помощью книги «Зеленые страницы» приведите примеры других видов растений. Запишите не менее трех названий.
Ответ
1)Задание 1: У какой группы растений нет ни корней, ни цветков, любят влагу.Ответ: Мхи
Задание 2: К каким группам растений относятся: 1. морская капуста 2. лиственница 3. ягель 4.ромашка 5. папоротник комнатныйОтвет: 1. водоросли 2. хвойные 3. мхи 4. цветковые 5. папоротники
2)
Одуванчик лекарственный: 2
Клевер красный: 3
Подорожник большой: 2
Всего растений: 7
Всего видов растений: 3
3)
| Группы растений | Число видов |
| Водоросли | 100 000 |
| Мхи | 27 000 |
| Папоротники | 10 000 |
| Хвойные | 600 |
| Цветковые | 250 000 |
Наиболее богаты видами цветковые растения. Меньше всего видов хвойных растений.
Группы растений в порядке увеличения – хвойные, папоротники, мхи, водоросли, цветковые.
Группы растений в порядке уменьшения числа видов – цветковые, водоросли, мхи, папоротники, хвойные.
4)
Я определил(а):
а) в классе – герань, фиалка, кактус (цветковые)
б) в других помещениях школы – папоротник комнатный (папоротники), алоэ (цветковые)
в) возле школы – ель (хвойные), береза, шиповник (цветковые).
Примеры других видов растений из книги «Зеленые страницы»: берёза, тополь, осина, крапива, подорожник, лилия.
Задание 3 (стр. 33)
Мама Серёжи и Нади в ботаническом саду сделала фотографии разных видов растений. Постарайся узнать растения по фотографиям. Подпиши названия. Можешь воспользоваться словами для справок.
Ответ
Пролеска сибирская, Нивяник обыкновенный, Шиповник майский, Бересклет европейский, Лиственница Кемпфера, Кипрей узколистный
Задание 4 (стр. 33)
По заданию учебника определи несколько растений родного края. Запиши их названия.
Ответ
Растения родного края: берёза, сосна, подорожник, дуб, облепиха.Комнатные растения у меня дома: алоэ, бегония, фикус, герань.Растения у меня во дворе: петуния, флоксы, бархатцы, анютины глазки.
Предыдущая страница Следующая страница
Дополнительные примеры
Приведём ряд дополнительных примеров по сложению и вычитанию корней.
Пример 10. Вычислить √9 + √4 — 3√2. Из 9 и 4 квадратные корни вычисляются очень легко. √9 = 3, √4 = 2. В результате имеем 3 + 2 — 3√2 = 5 — 3√2. Это выражение дальше уже никак нельзя сделать проще, т. е. окончательным будет результат 5 — 3√2.
Ответ: √9 + √4 — 3√2 = 5 — 3√2.
Пример 11. Вычислить (√2)/4 + (√2)/2. Сначала находим наименьший знаменатель указанных дробей. Не сложно понять, что он равен 4. Чтобы привести к наименьшему знаменателю вторую дробь, умножаем её на 2/2 и получаем (2√2)/4. Теперь нам остаётся сложить лишь числители, знаменатель остаётся прежним. В итоге получаем (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4.
Ответ: (√2)/4 + (√2)/2 = (3√2)/4.
Пример 12. Посчитать выражение (√X+√Y)/ (√X-√Y). Умножаем указанное выражение на дробь (√X+√Y)/(√X+√Y), В результате будем иметь
/ = (√X+√Y)2/(X-Y).
Далее нужно раскрыть скобки. Тогда мы получим /(X – Y).
Ответ: (√X+√Y)/(√X-√Y) = /(X – Y). Проще исходного полученное выражение назвать сложно. Скорее это наглядный пример того, что упрощение возможно далека не всегда. Его попытка имеет смысл лишь для того, чтобы в последнем убедить себя окончательно.
Пример 13. Вычислить выражение (√2 +√3)*(√2-√3)3/(2-2√6+3). Раскладываем второй множитель числителя на два множителя
(√2-√3)3 = (√2-√3)2*(√2-√3). После этого будем иметь выражение /(2-2√6+3), но ведь (√2-√3)2 = 2 -2√6+3 и оно совпадает со знаменателем дроби, а значит может быть сокращено. Мы имеем (√2-√3)*(√2 +√3), по известной формуле (a+b)*(a-b) = a2 – b2 в результате мы получаем (√2-√3)*(√2 +√3) = 2 – 3 = -1.
Казалось бы, очень сложное выражение получилось равным (-1). Результат абсолютно точен. Вычисляя выражение через приближённые значения корней, мы пришли бы к тому же самому результату, то в его точности сомнения тогда могли бы остаться. Сейчас же их совершенно нет. Надеемся, что статья была для вас понятной и полезной.
Вычитание и сложение квадратных корней с помощью сокращения знаменателя
Это часто бывает нужно, когда требуется избавиться от иррациональности в знаменателе. Нам дано выражение N/(√X +√Y). Умножаем обе части дроби (числитель и знаменатель) на √X -√Y. Вспомните формулу сокращённого умножения. (a+b)*(a-b) = a2 – b2. Применительно к нашему случаю это будет (√X +√Y)*(√X -√Y) = X-Y.
Пример 7. Вычислить 4 / (√3 + √5). Умножаем всё на (√3 — √5). В результате получаем
4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) =
= 4 * (√3 — √5) / (3-5) = 4 * (√3 — √5) / (-2) =
=2 * (√5 — √3).
Далее задача посложнее.
Пример 8. Нужно вычислить выражение 12 / (√2 + √3 + √5). Поступить можно только одним образом – умножить обе части дроби на (√2 + √3 — √5)
Обратите внимание, последний знак в выражении минус, а не плюс, как в исходном. В результате мы имеем:
12*(√2 + √3 — √5)/.
После последовательного перемножения всех чисел получаем 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6). Упрощаем выражение далее и в итоге получаем: 2 * √3 + 3 * √2 — √30.
Ответ: 12 / (√2 + √3 + √5) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.
Теперь вы знаете, как складывать квадратные корни при действиях с дробями.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Нужна помощь