Натуральные числа

Ответы к стр. 60

Какое равенство называют уравнением? Какое число называют корнем уравнения? Что значит решить уравнение? Как проверить, верно ли решено уравнение? Как найти неизвестное слагаемое; вычитаемое; уменьшаемое?

Уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти. Корень уравнения — значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство. Решить уравнение — найти все его корни или убедиться, что уравнение не имеет ни одного корня. Подставить в уравнение значение буквы и получить верное числовое равенство. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое; чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность; чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность.

372. Решите уравнение: а) х + 37 = 85; г) m — 94 = 18; б) 156 + y = 218; д) 2041 — n = 786; в) 85 — z = 36; е) р — 7698 = 2302.

373. Решите с помощью уравнения задачу: а) В корзине было несколько грибов. После того как в неё положили ещё 27 грибов, их стало 75. Сколько грибов было в корзине? б) В мотке было несколько метров проволоки. После того как отрезали 9 м, осталось 25 м. Сколько метров проволоки было в мотке? в) Электропоезд был в пути 1 ч 15 мин. Некоторое время он затратил на остановки, а двигался 46 мин. Сколько времени затрачено на остановки? г) В спортивном лагере 322 человека. Когда несколько человек ушли в поход, в лагере осталось 275 человек. Сколько человек ушли в поход? д) Скорость автомашины уменьшили на 45 км/ч, и она стала равной 35 км/ч. Какова была скорость машины раньше? е) Через 9 лет Вите исполнится 20 лет. Сколько лет ему сейчас?

Будем обозначать через х неизвестную величину. а) х + 27 = 75, х = 75 — 27, х = 48. О т в е т: было 48 грибов.

б) х — 9 = 25, х = 25 + 9, х = 34. О т в е т: было 34 м проволоки.

в) 1 ч 15 м = 75 м х + 46 = 75, х = 75 — 46, х = 29. О т в е т: на остановки затрачено 29 минут.

г) 322 — х = 275, х = 322 — 275, х = 47. О т в е т: ушли 47 человек.

д) х — 45 = 35, х = 35 + 45, х = 80. О т в е т: скорость машины 80 км/ч.

е) х + 9 = 20, х = 20 — 9, х = 11. О т в е т: сейчас 11 лет.

Вычитание натуральных чисел

Аналогично сложению выполняется вычитание — действие, которое заключается в уменьшении первого числа на величину второго. При этом первое называется уменьшаемым, второе — вычитаемым, а полученный результат — разностью.

Рассмотрим действие вычитания на схеме с лучами.

На первом луче от имеющегося числа 7 необходимо вычесть 3. Сделав поочередно три шага влево по лучу, можно определить разность в этом действии. Она равна четырем.

На втором координатном луче аналогично произведено действие вычитания из шести четыре. Разность — два.

Умение вычесть из одного числа другое пригодится в решении задач по нахождению одного из слагаемых при известной сумме. Так, например, зная, что сумма двух чисел равна 7, а один из слагаемых трем, можно найти второе слагаемое. Для этого производим действие вычитания:

7-3=4

Разность в данном примере составляет 4.

Действие по вычитанию натуральных чисел может происходить в том случае, когда вычитаемое меньше уменьшаемого. В противном случае в результате получится отрицательное число, которое не является натуральным.

Что такое натуральные числа

Много ситуаций вокруг нас связано с действиями с натуральными числами. Каждое из них можно представить шагами на обычной школьной линейке с нанесенными делениями, числовой прямой и координатном луче. В результате сложения исходное натуральное число увеличивается, а в результате вычитания — уменьшается. Для таких математических действий также существуют законы, которые будут рассмотрены ниже.

Понятие натурального числа обусловлено необходимостью естественного счета предметов и расположения цифр друг относительно друга. Множество таких чисел характеризуется бесконечностью. На деле это выглядит так: относительно любого числа есть еще одно, которое на единицу больше. Если расположить эти числа в порядке возрастания, получится натуральный ряд – еще одно математическое понятие, связанное с натуральными числами. Примером такого ряда является обычная линейка. В то же время необходимо понимать, что линейка имеет последнее число (например, линейка на 30 см ограничивается числом 30, а на 40 см — 40). В отличие от обычной линейки, числовая прямая не имеет крайнего числа, как показано на рисунке:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут

Представляя натуральные числа в виде числовой прямой, необходимо также помнить, что натуральным рядом является только множество целых чисел, причем имеющих знак «+». Если на прямой нанесены числа, расположенные слева от нуля, то этот ряд не является натуральным. Поэтому в математике говорят о расположении натуральных чисел на луче.

Расположение чисел на луче помогает представить действия с натуральными числами:

• продвинувшись на несколько делений вправо, число получает увеличение на число таких шагов;
• если переместиться на несколько шагов влево, получается результат, равный действию вычитания из исходного числа количества геометрических шагов.

Примечание 1

Геометрическим шагом называется единица, на которую совершается геометрическое действие.

На данном рисунке шагом является любой отрезок между двумя соседними натуральными числами.

Все натуральные числа можно назвать их множеством. Для обозначения такого множества определена буква латинского алфавита N.

В математике для множества натуральных чисел существуют следующие правила:

1. Единица является наименьшим натуральным числом.
2. При фоне существования наименьшего числа отсутствует наибольшее.
3. При сравнении каждого последующего числа с предыдущим, обязательное условие — их разница на единицу. Другими словами, каждый последующий участник ряда больше предыдущего на один.

Свойства сложения и вычитания натуральных чисел

При решении задач на сложение и вычитание натуральных чисел важно грамотно использовать свойства этих действий. К ним относятся:

К ним относятся:

1. Переместительное свойство.

Для понимания рассмотрим пример. На ветке сидело 5 воробьев. К ним прилетело еще трое. Сколько воробьев в результате сидит на ветке? Произведя действие по сложению, получаем:

5+3=8

Данную задачу можно сформулировать и по другому, а именно: На ветке сидело трое воробьев. К ним прилетело еще пятеро. Сколько всего воробьев? Теперь прибавляем к трем пять. В результате — та же сумма. 8.

Следовательно, можно поменять местами слагаемые, от чего сумма не изменится. Данное свойство формулируется следующим образом: от перемены мест слагаемых сумма не меняется.

Переместительное свойство можно использовать для облегчения устного счета. Так, если к 9 нужно добавить 23, это устно сделать затруднительно. Гораздо проще представить действие, когда к 23 прибавить 9. В итоге сумма равна 32.

Переместительное свойство справедливо только для сложения. В вычитании оно не работает.

2. Сочетательное свойство.

Упростить сложение с помощью сочетательного свойства также легко. Если к имеющемуся числу нужно добавить сумму двух чисел, то можно выбрать, какое из них прибавлять первым. В таком случае действие рассматривается как нахождение суммы первого числа с одним из пары добавляемых чисел, с последующим прибавлением второго.

Рассмотрим на примере.

Если к 7 нужно прибавить сумму 15 и 23, то можно на первом этапе прибавить 23, а после, получив 30, прибавить к нему 15. Запишем пот действиям:

7+(15+23)=(7+23)+15=30+15=45

В математических примерах на сложение одним из слагаемых может быть 0. В таком случае сумма будет равна первому слагаемому. Другими словами, ноль не увеличивает число при сложении с ним.

Определенные законы существуют и для вычитания. Основные из них следующие:

1. Если уменьшаемое и вычитаемое представлены одинаковыми числами, то их разность будет равна нулю. Наглядно это становится понятным на координатном луче. Отступив от начала координат 7 единиц, а потом, вернувшись на эти семь делений назад, получаем ноль.
2. Аналогично третьему свойству сложения в примере на вычитание в качество вычитаемого может присутствовать ноль. Так, если от 9 нужно вычесть ноль, разность будет равна уменьшаемому, т.е. 9.
3. Данное свойство также аналогично одному из свойств сложения. Если в задании требуется из числа вычесть сумму чисел, то можно выбрать и одно из них вычесть первым. Например, 16-(6+3)=(16-6)+3=10+3=13. Решение таким способом гораздо легче.
4. Выбирать первостепенное действие можно и при вычитании числа из суммы. Например, (16+25)-6=(16-6)+25=10+25=35. Такое перемещение членов математического действия гораздо облегчает задачу и сокращает время на ее решение.

Приведенные свойства можно выразить в виде формул:

Похожие вопросы

• Все категории экономические 43,401 гуманитарные 33,632 юридические 17,905 школьный раздел 607,977 разное 16,854

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Как проверить, верно ли решено уравнение?

Подставить полученное решение вместо неизвестного. Если обе части уравнения равны, значит решено правильно. Если нет — просмотреть внимательно своё решение.

Например было такое уравнение 2х^2 — 2х + 20 = 0 Вы решили это квадратное уравнение и узнали, что х = 5 Проверяем, подставляя вместо х значение 5 2*5*5 — 2*5 + 20 = 0 50 — 10 + 20 = 0 60 = 0 не верно А вот если бы 0 = 0 тогда верно

если у тебя уравнение с иксом, то найденный икс подставляешь в изначальное уравнение. если левая часть равна правой, то все верной. а если при подстановки икса левая часть не равна правой, значит корень уравнения найден не верно.

Понятие уравнения

Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры. Тогда оно определяется так:

Уравнением называется равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

Принято обозначать неизвестные маленькими латинскими буквами, например, t, r, m др., но чаще всего используются x, y, z. Иными словами, уравнение определяет форма его записи, то есть равенство будет уравнением только тогда, когда будет приведен к определенному виду – в нем должна быть буква, значение которое надо найти.

Приведем несколько примеров простейших уравнений. Это могут быть равенства вида x = 5 , y = 6 и т. д., а также те, что включают в себя арифметические действия, к примеру, x + 7 = 38 , z − 4 = 2 , 8 · t = 4 , 6 : x = 3 .

После того, как изучено понятие скобок, появляется понятие уравнений со скобками. К ним относятся 7 · ( x − 1 ) = 19 , x + 6 · ( x + 6 · ( x − 8 ) ) = 3 и др. Буква, которую надо найти, может встречаться не один раз, а несколько, как, например, в уравнении x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Также неизвестные могут быть расположены не только слева, но и справа или в обеих частях одновременно, например, x · ( 8 + 1 ) − 7 = 8 , 3 − 3 = z + 3 или 8 · x − 9 = 2 · ( x + 17 ) .

Далее, после того, как ученики знакомятся с понятием целых, действительных, рациональных, натуральных чисел, а также логарифмами, корнями и степенями, появляются новые уравнения, включающие в себя все эти объекты. Примерам таких выражений мы посвятили отдельную статью.

В программе за 7 класс впервые возникает понятие переменных. Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см. в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными). Основываясь на этом понятии, мы можем дать новое определение уравнению:

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

То есть, к примеру, выражение x + 3 = 6 · x + 7 – это уравнение с переменной x, а 3 · y − 1 + y = 0 – уравнение с переменной y.

В одном уравнении может быть не одна переменная, а две и более. Их называют соответственно уравнениями с двумя, тремя переменными и др. Запишем определение:

Уравнениями с двумя (тремя, четырьмя и более) переменными называют уравнения, которые включают в себя соответствующее количество неизвестных.

К примеру, равенство вида 3 , 7 · x + 0 , 6 = 1 является уравнением с одной переменной x, а x − z = 5 – уравнением с двумя переменными x и z. Примером уравнения с тремя переменными может быть выражение x 2 + ( y − 6 ) 2 + ( z + 0 , 6 ) 2 = 26 .