§4. Площади и объемы
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
§3. Умножение и деление натуральных чисел
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
§3. Умножение и деление натуральных чисел
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
Операции над натуральными числами
К операциям над натуральными числами относят:
- Сложение: a+b=c, где
a, b — слагаемые, c — сумма.
Сумма всегда больше любого из слагаемых.
Когда нужно найти неизвестное слагаемое, из суммы вычитают известное слагаемое: b=c-a.
- Умножение: a*b=c, где
a, b — множители или множитель и сомножитель, c — их произведение.
В операции умножения натуральных чисел самым большим числом будет произведение.
Чтобы найти неизвестный множитель, произведение делят на известный множитель: b=c:a.
- Вычитание: a-b=c, где
a — уменьшаемое, b — вычитаемое, c — разность.
Самое большое число в операции вычитания — уменьшаемое.
Совершенные числа
Математика – это не только куча уже известных формул, типовых решений и задач. Помимо школьного курса есть математические загадки, которые пока никому не удалось разгадать. Одной из таких загадок являются совершенные числа.
Совершенное число – это числа, сумма делителей которого равняется этому числу. Имеются в виду только те числители, что меньше самого числа. Наименьшим совершенным числом является число 6. Простые делители 6: 1,2,3 – если их сложить то получится все тоже число 6.
Совершенными числами впервые заинтересовались древнегреческие математики. Они были увлечены идеей простого числа. Так, второе простое число было обнаружено Пифагором, который полагал, что обнаружив закономерность, по которой образуются простые числа, можно вывести идеальное имя человека. Это была идея всех математиков того времени.
Первым, кто попытался вывести подобную зависимость научным путем, был Евклид, в своих трудах он указывал на некоторые признаки совершенных чисел. Однако, несмотря на все труды математиков всех времен и народов, обнаружить формулу совершенного числа до сих пор не удалось
Это удивительно, но ни одна из предложенных формул совершенных чисел не дает возможности определить следующее по порядку совершенное число. Все, что может предложить современная математика: бесконечный перебор вариантов.
Да, тяжело в это поверить, но открытых совершенных чисел не так много. Так последнее на данный момент, 50 число было открыто всего в 2018 году с помощью вычислений сверхмощного компьютера.
Зачем же нужны компьютеры для простого перебора чисел? Ну, как минимум, это ускоряет расчет в десятки тысяч раз. Но помимо этого есть и еще одна причина. Дело в том, что чем каждое следующее совершенное число в разы больше предыдущего, что еще больше усложняет выведение формулы числа и нахождение следующих чисел ряда.
Так, первое число из списка совершенных чисел мы знаем: 6. Следующее: 48, далее идет 896. А вот в 24 числе уже 12000 знаков. По мере роста натуральных чисел, совершенные числа встречаются все реже.
Большую часть совершенных чисел нашли уже в современности. Огромное 24 число было найдено в 1956 году с использованием ЭВМ. На сегодняшний день таких в список совершенных чисел входит 50 значений.
Особых свойств совершенные числа не имеют, но есть интересные закономерности. Интересно, что практически каждая закономерность имеет свои исключения, а потому не может быть использована для выведения общей для всех совершенных чисел формулы.
Например, совершенные числа являются суммой кубов последовательных чисел. Однако под это свойство не попадает число 6 и так далее. Практически каждое свойство имеет свое исключение, кроме двух.
Так, сумма обратных чисел простых делителей совершенного числа всегда равна 2. А так же до сих пор не найдено ни одно нечетное совершенное число. Возможно это связано с моделью поиска, а может быть дело в том, что все совершенные числа: четные.
Мы поговорили о том, что такое совершенные числа. Рассказали, сколько всего совершенных чисел найдена, чем затруднен поиск новых чисел, а также привели несколько интересных свойств совершенных чисел.
§2. Сложение и вычитание натуральных чисел
- 2.1
- 2.2
- 2.3
- 2.4
- 2.5
- 2.6
- 2.7
- 2.8
- 2.9
- 2.10
- 2.11
- 2.12
- 2.13
- 2.14
- 2.15
- 2.16
- 2.17
- 2.18
- 2.19
- 2.20
- 2.21
- 2.22
- 2.23
- 2.24
- 2.25
- 2.26
- 2.27
- 2.28
- 2.29
- 2.30
- 2.31
- 2.32
- 2.33
- 2.34
- 2.35
- 2.36
- 2.37
- 2.38
- 2.39
- 2.40
- 2.41
- 2.42
- 2.43
- 2.44
- 2.45
- 2.46
- 2.47
- 2.48
- 2.49
- 2.50
- 2.51
- 2.52
- 2.53
- 2.54
- 2.55
- 2.56
- 2.57
- 2.58
- 2.59
- 2.60
- 2.61
- 2.62
- 2.63
- 2.64
- 2.65
- 2.66
- 2.67
- 2.68
- 2.69
- 2.70
- 2.71
- 2.72
- 2.73
- 2.74
- 2.75
- 2.76
- 2.77
- 2.78
- 2.79
- 2.80
- 2.81
- 2.82
- 2.83
- 2.84
- 2.85
- 2.86
- 2.87
- 2.88
- 2.89
- 2.90
- 2.91
- 2.92
- 2.93
- 2.94
- 2.95
- 2.96
- 2.97
- 2.98
- 2.99
- 2.100
- 2.101
- 2.102
- 2.103
- 2.104
- 2.105
- 2.106
- 2.107
- 2.108
- 2.109
- 2.110
- 2.111
- 2.112
- 2.113
- 2.114
- 2.115
- 2.116
- 2.117
- 2.118
- 2.119
- 2.120
- 2.121
- 2.122
- 2.123
- 2.124
- 2.125
- 2.126
- 2.127
- 2.128
- 2.129
- 2.130
- 2.131
- 2.132
- 2.133
- 2.134
- 2.135
- 2.136
- 2.137
- 2.138
- 2.139
- 2.140
- 2.141
- 2.142
- 2.143
- 2.144
- 2.145
- 2.146
- 2.147
- 2.148
- 2.149
- 2.150
- 2.151
- 2.152
- 2.153
- 2.154
- 2.155
- 2.156
- 2.157
- 2.158
- 2.159
- 2.160
- 2.161
- 2.162
- 2.163
- 2.164
- 2.165
- 2.166
- 2.167
- 2.168
- 2.169
- 2.170
- 2.171
- 2.172
- 2.173
- 2.174
- 2.175
- 2.176
- 2.177
- 2.178
- 2.179
- 2.180
- 2.181
- 2.182
- 2.183
- 2.184
- 2.185
- 2.186
- 2.187
- 2.188
- 2.189
- 2.190
- 2.191
- 2.192
- 2.193
- 2.194
- 2.195
- 2.196
- 2.197
- 2.198
- 2.199
- 2.200
- 2.201
- 2.202
- 2.203
- 2.204
- 2.205
- 2.206
- 2.207
- 2.208
- 2.209
- 2.210
- 2.211
- 2.212
- 2.213
- 2.214
- 2.215
- 2.216
- 2.217
- 2.218
- 2.219
- 2.220
- 2.221
- 2.222
- 2.223
- 2.224
- 2.225
- 2.226
- 2.227
- 2.228
- 2.229
- 2.230
- 2.231
- 2.232
- 2.233
- 2.234
- 2.235
Преимущества и польза
Помимо печатной версии, существует мобильное приложение и онлайн-версия ГДЗ. Не всегда последние варианты становятся приемлемыми: отсутствие доступа к интернету, низкая скорость соединения или внезапная поломка техники. Печатный вариант остается актуальным среди школьников, преподавателей и родителей. Книгу можно поставить на полку вместе с учебниками или спрятать от ребенка, если решебник был куплен для проверки.
Сборник решений экономит время и деньги родителей:
• Информацию можно объяснить самостоятельно;
• Не нужно искать репетитора или оставлять ребенка на дополнительные занятия;
• Быстрая проверка, благодаря разделам с уроками
Действительные числа: определение, примеры, представления
Определение действительных чисел
Целые и дробные числа вместе составляют рациональные числа. В свою очередь, рациональные и иррациональные числа составляют действительные числа. Как дать определение, что такое действительные числа?
Действительные числа — это рациональные и иррациональные числа. Множество действительных чисел обозначается через R.
Данное определение можно записать иначе с учетом следующего:
- Рациональные числа можно представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби.
- Иррациональные числа представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби.
Действительные числа — числа, которые можно записать в виде конечной или бесконечной (периодической или непериодической) десятичной дроби.
Действительные числа — это любые рациональные и иррациональные числа. Приведем примеры таких чисел: 0; 6; 458; 1863; 0,578; -38; 265; 0,145(3); log512.
Нуль также является действительным числом. Согласно определению, существуют как положительные, так и отрицательные действительные числа. Нуль является единственным действительным числом, которое не положительно и не отрицательно.
Еще одно название для действительных чисел — вещественные числа. Эти числа позволяют описывать значение непрерывно меняющейся величины без введения эталонного (единичного) значения этой величины.
Координатная прямая и действительные числа
Каждой точке не координатной прямой соответствует определенное и единственное действительное число. Иными словами, действительные числа занимают всю координатную прямую, а между точками кривой и числами присутствует взаимно-однозначное соответствие.
Представления действительных чисел
Под определение дейситвительных чисел попадают:
- Натуральные числа.
- Целые числа.
- Десятичные дроби.
- Обыкновенные дроби.
- Смешанные числа.
Также действительные числа часто представляются в виде выражений со степенями, корнями и логарифмами. Сумма, разность произведение и частное действительных чисел также являются действительными числами.
Значение любого выражения, составленного из действительных чисел, также будет являться действительным числом.
Например, значения выражений sin23π·e-285·10log32 и tg676693-8π32 — действительные числа.
§5. Обыкновенные дроби
- 5.1
- 5.2
- 5.3
- 5.4
- 5.5
- 5.6
- 5.7
- 5.8
- 5.9
- 5.10
- 5.11
- 5.12
- 5.13
- 5.14
- 5.15
- 5.16
- 5.17
- 5.18
- 5.19
- 5.20
- 5.21
- 5.22
- 5.23
- 5.24
- 5.25
- 5.26
- 5.27
- 5.28
- 5.29
- 5.30
- 5.31
- 5.32
- 5.33
- 5.34
- 5.35
- 5.36
- 5.37
- 5.38
- 5.39
- 5.40
- 5.41
- 5.42
- 5.43
- 5.44
- 5.45
- 5.46
- 5.47
- 5.48
- 5.49
- 5.50
- 5.51
- 5.52
- 5.53
- 5.54
- 5.55
- 5.56
- 5.57
- 5.58
- 5.59
- 5.60
- 5.61
- 5.62
- 5.63
- 5.64
- 5.65
- 5.66
- 5.67
- 5.68
- 5.69
- 5.70
- 5.71
- 5.72
- 5.73
- 5.74
- 5.75
- 5.76
- 5.77
- 5.78
- 5.79
- 5.80
- 5.81
- 5.82
- 5.83
- 5.84
- 5.85
- 5.86
- 5.87
- 5.88
- 5.89
- 5.90
- 5.91
- 5.92
- 5.93
- 5.94
- 5.95
- 5.96
- 5.97
- 5.98
- 5.99
- 5.100
- 5.101
- 5.102
- 5.103
- 5.104
- 5.105
- 5.106
- 5.107
- 5.108
- 5.109
- 5.110
- 5.111
- 5.112
- 5.113
- 5.114
- 5.115
- 5.116
- 5.117
- 5.118
- 5.119
- 5.120
- 5.121
- 5.122
- 5.123
- 5.124
- 5.125
- 5.126
- 5.127
- 5.128
- 5.129
- 5.130
- 5.131
- 5.132
- 5.133
- 5.134
- 5.135
- 5.136
- 5.137
- 5.138
- 5.139
- 5.140
- 5.141
- 5.142
- 5.143
- 5.144
- 5.145
- 5.146
- 5.147
- 5.148
- 5.149
- 5.150
- 5.151
- 5.152
- 5.153
- 5.154
- 5.155
- 5.156
- 5.157
- 5.158
- 5.159
- 5.160
- 5.161
- 5.162
- 5.163
- 5.164
- 5.165
- 5.166
- 5.167
- 5.168
- 5.169
- 5.170
- 5.171
- 5.172
- 5.173
- 5.174
- 5.175
- 5.176
- 5.177
- 5.178
- 5.179
- 5.180
- 5.181
- 5.182
- 5.183
- 5.184
- 5.185
- 5.186
- 5.187
- 5.188
- 5.189
- 5.190
- 5.191
- 5.192
- 5.193
- 5.194
- 5.195
- 5.196
- 5.197
- 5.198
- 5.199
- 5.200
- 5.201
- 5.202
- 5.203
- 5.204
- 5.205
- 5.206
- 5.207
- 5.208
- 5.209
- 5.210
- 5.211
- 5.212
- 5.213
- 5.214
- 5.215
- 5.216
- 5.217
- 5.218
- 5.219
- 5.220
- 5.221
- 5.222
- 5.223
- 5.224
- 5.225
- 5.226
- 5.227
- 5.228
- 5.229
- 5.230
- 5.231
- 5.232
- 5.233
- 5.234
- 5.235
- 5.236
- 5.237
- 5.238
- 5.239
- 5.240
- 5.241
- 5.242
- 5.243
- 5.244
- 5.245
- 5.246
- 5.247
- 5.248
- 5.249
- 5.250
- 5.251
- 5.252
- 5.253
- 5.254
- 5.255
- 5.256
- 5.257
- 5.258
- 5.259
- 5.260
- 5.261
- 5.262
- 5.263
- 5.264
- 5.265
- 5.266
- 5.267
- 5.268
- 5.269
- 5.270
- 5.271
- 5.272
- 5.273
- 5.274
- 5.275
- 5.276
- 5.277
- 5.278
- 5.279
- 5.280
- 5.281
- 5.282
- 5.283
- 5.284
- 5.285
- 5.286
- 5.287
- 5.288
- 5.289
- 5.290
- 5.291
- 5.292
- 5.293
- 5.294
- 5.295
- 5.296
- 5.297
- 5.298
- 5.299
- 5.300
- 5.301
- 5.302
- 5.303
- 5.304
- 5.305
- 5.306
- 5.307
- 5.308
- 5.309
- 5.310
- 5.311
- 5.312
- 5.313
- 5.314
- 5.315
- 5.316
- 5.317
- 5.318
- 5.319
- 5.320
- 5.321
- 5.322
- 5.323
- 5.324
- 5.325
- 5.326
- 5.327
- 5.328
- 5.329
- 5.330
- 5.331
- 5.332
- 5.333
- 5.334
- 5.335
- 5.336
- 5.337
- 5.338
- 5.339
- 5.340
- 5.341
- 5.342
- 5.343
- 5.344
- 5.345
- 5.346
- 5.347
- 5.348
- 5.349
- 5.350
- 5.351
- 5.352
- 5.353
- 5.354
- 5.355
- 5.356
- 5.357
- 5.358
- 5.359
- 5.360
- 5.361
- 5.362
- 5.363
- 5.364
- 5.365
- 5.366
- 5.367
- 5.368
- 5.369
- 5.370
- 5.371
- 5.372
- 5.373
- 5.374
- 5.375
- 5.376
- 5.377
- 5.378
- 5.379
- 5.380
- 5.381
- 5.382
- 5.383
- 5.384
- 5.385
- 5.386
- 5.387
- 5.388
- 5.389
- 5.390
- 5.391
- 5.392
- 5.393
- 5.394
- 5.395
- 5.396
- 5.397
- 5.398
- 5.399
- 5.400
- 5.401
- 5.402
- 5.403
- 5.404
- 5.405
- 5.406
- 5.407
- 5.408
- 5.409
- 5.410
- 5.411
- 5.412
- 5.413
- 5.414
- 5.415
- 5.416
- 5.417
- 5.418
- 5.419
- 5.420
- 5.421
- 5.422
- 5.423
- 5.424
- 5.425
- 5.426
- 5.427
- 5.428
- 5.429
- 5.430
- 5.431
- 5.432
- 5.433
- 5.434
- 5.435
- 5.436
- 5.437
- 5.438
- 5.439
- 5.440
- 5.441
- 5.442
- 5.443
- 5.444
- 5.445
- 5.446
- 5.447
- 5.448
- 5.449
- 5.450
- 5.451
- 5.452
- 5.453
- 5.454
- 5.455
- 5.456
- 5.457
- 5.458
- 5.459
- 5.460
- 5.461
- 5.462
- 5.463
- 5.464
- 5.465
- 5.466
- 5.467
- 5.468
- 5.469
- 5.470
- 5.471
- 5.472
- 5.473
- 5.474
- 5.475
- 5.476
- 5.477
- 5.478
- 5.479
- 5.480
- 5.481
- 5.482
- 5.483
- 5.484
- 5.485
- 5.486
- 5.487
- 5.488
- 5.489
- 5.490
- 5.491
- 5.492
- 5.493
- 5.494
- 5.495
- 5.496
- 5.497
- 5.498
- 5.499
- 5.500
- 5.501
- 5.502
- 5.503
- 5.504
- 5.505
- 5.506
- 5.507
- 5.508
- 5.509
- 5.510
- 5.511
- 5.512
- 5.513
- 5.514
- 5.515
- 5.516
- 5.517
- 5.518
- 5.519
- 5.520
- 5.521
- 5.522
- 5.523
- 5.524
- 5.525
- 5.526
- 5.527
- 5.528
- 5.529
- 5.530
- 5.531
- 5.532
- 5.533
- 5.534
- 5.535
- 5.536
- 5.537
- 5.538
- 5.539
- 5.540
- 5.541
- 5.542
- 5.543
- 5.544
- 5.545
- 5.546
- 5.547
- 5.548
- 5.549
- 5.550
- 5.551
- 5.552
- 5.553
- 5.554
- 5.555
- 5.556
- 5.557
- 5.558
- 5.559
- 5.560
- 5.561
- 5.562
- 5.563
- 5.564
- 5.565
- 5.566
- 5.567
- 5.568
- 5.569
Ответы к стр. 72
442. Среди чисел 1, 0, 5, 11, 9 найдите корни уравнения:
а) x + 19 = 30; в) 30 + х = 32 — х;
б) 27 — x = 27 + х; г) 10 + х + 2 = 15 + х — 3.
а) х = 11: 11 + 19 = 30;б) х = 0: 27 — 0 = 27 + 0;
в) х = 1: 30 + 1 = 32 — 1;
г) х = 1, 0, 5, 11, 9 или любое натуральное число: 12х = 12х.
443. Назовите несколько свойств луча. Какие из этих свойств есть у прямой?
Луч — это часть прямой линии, которая расположена по одну сторону от какой-либо точки на этой прямой. У луча есть начало, но нет конца. У прямой тоже нет конца.
444. Придумайте способ, с помощью которого можно быстро и просто вычислить значение выражения:
39 − 37 + 35 − 33 + 31 − 29 + 27 − 25 + … + 11 − 9 + 7 − 5 + 3 − 1.
В этом выражении нечётные числа от 1 до 39, всего (39 + 1) 2 = 20 чисел. Из них получится 20 2 = 10 пар, значение разности чисел в каждой паре равно 2. Тогда значение выражения 2 • 10 = 20.
445. Решите уравнение:
а) 127 + у = 357 − 85; в) 144 − у − 54 = 37;
б) 125 + у − 85 = 65; г) 52 + у + 87 = 159.
a) 127 + у = 357 – 85у = 357 − 127 – 85у = 230 − 85у = 145
б) 125 + y − 85 = 65у = 65 + 85 − 125у = 150 − 125у = 25
в) 144 − у − 54 = 37у = 144 − 54 − 37у = 90 − 37у = 53
г) 52 + у + 87 = 159у = 159 − 87 − 52
у = 159 — (87 + 52)у = 159 − 139у = 20
446. При каком значении буквы верно равенство:
а) 34 + α = 34; г) 58 − d = 0; ж) k − k = 0;
б) b + 18 = 18; д) m + 0 = 0; з) l + l = 0?
в) 75 − с = 75; e) 0 − n = 0;
a) α = 0: 34 + 0 = 34;
б) b = 0: 0 + 18 = 18;
в) с = 0: 75 − 0 = 75;
г) d = 58: 58 − 58 = 0;
д) m = 0: 0 + 0 = 0;
e) n = 0: 0 − 0 = 0;
ж) k − любое число: k − k = 0;
з) l = 0: 0 + 0 = 0.
447. Решите задачу:
а) В корзине несколько грибов. После того как из неё вынули 10 грибов, а затем в неё положили 14 грибов, в ней стало 85 грибов. Сколько грибов было в корзине первоначально?
б) У мальчика было 16 почтовых марок. Он купил ещё несколько марок, после этого подарил младшему брату 23 марки, и у него осталось 19 марок. Сколько марок купил мальчик?
а) Обозначим неизвестную величину через х и решим уравнение.х − 10 + 14 = 85х = 85 + 10 − 14х = 95 − 14х = 81
О т в е т: 81 гриб был в корзине.
б) Обозначим неизвестную величину через х и решим уравнение.
16 + х − 23 = 19х = 19 + 23 − 16х = 41 — 16х = 26
О т в е т: 26 марок купил мальчик.
448. Упростите выражение:
1) (138 + m) − 95; 3) (х − 39) + 65;
2) (198 + n) − 36; 4) (у − 56) + 114.
1) (138 + m) − 95 = m + 138 − 95 = m + 43;
2) (198 + n) − 36 = n + 198 − 36 = n + 162;
3) (х − 39) + 65 = х + 65 − 39 = х + 26;
4) (y − 56) + 114 = у + 114 − 56 = у + 58.
449. Найдите значение выражения:
1) 7480 − 6480 : 120 + 80; 2) 1110 + 6890 : 130 − 130.
1) 7480 − 6480 120 + 80 = 7480 − 54 + 80 = 7426 + 80 = 7506;
2) 1110 + 6890 130 − 130 = 1110 + 53 — 130 = 1163 — 130 = 1033.
450. Найдите значение выражения:
а) 704 + 704 + 704 + 704; б) 542 + 542 + 542 + 618 + 618.
a) 704 + 704 + 704 + 704 = 704 • 4 = 2816;
б) 542 + 542 + 542 + 618 + 618 = 542 • 3 + 618 • 2 = 1626 + 1236 = 2862.
451. Представьте в виде суммы произведение:
а) 24 • 4; б) k • 8; в) (х + у) • 4; г) (2α − b) • 5.
а) 24 • 4 = 24 + 24 + 24 + 24;
б) k • 8 = k + k + k + k + k + k + k + k;
в) (х + у) • 4 = (х + у) • (х + у) • (х + у) • (х + у);
г) (2α − b) • 5 = (2α − b) • (2α − b) • (2α − b) • (2α − b) • (2α − b).
452. В магазин привезли 250 коробок, в каждой коробке по 54 пачки печенья. Какова масса всего печенья, если масса одной пачки 150 г?
250 • 54 • 150 = 13 500 • 150 = 2 025 000 (г) — всего печенья
О т в е т: масса всего печенья 2 025 000 г или 2 т 25 кг.
453. В треугольнике ABC сторона АВ равна 27 см, и она больше стороны ВС в 3 раза. Найдите длину стороны АС, если периметр треугольника ABC равен 61 см.
Р∆АВС = АВ + ВС + CD, ВС = АВ 3.Обозначим неизвестную величину АС через х и решим уравнение.
61 = 27 + 27 3 + хх = 61 − 27 — 27 3х = 34 — 9х = 25
О т в е т: длина стороны АС 25 см.
454. Один станок-автомат производит 12 деталей в минуту, а другой − 15 таких же деталей. Сколько всего деталей будет изготовлено за 20 мин работы первого станка и 15 мин работы второго станка?
12 • 20 + 15 • 15 = 240 + 225 = 465 (д.) — всего
О т в е т: всего изготовлено 465 деталей.
| ← Предыдущая | Следующая → |
Десятичная система счисления
В десятичной системе счисления для записи натуральных чисел используют 10 знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — десять цифр. Из этих цифр составляют другие натуральные числа большей величины.
Смысл каждой из используемых цифр зависит от ее положения в числе — разряда. Принцип образования числа, когда в основе лежит определение позиции каждой цифры в нем, называют позиционным.
Изобретение позиционной нумерации, которая основана на поместном значении цифр, приписывают вавилонянам и шумерийцам. Такая нумерация была развита индусами. Древние системы нумерации были построены на аддитивном принципе, но с элементами позиционности. Например, римская нумерация предполагает «сложение или вычитание разрядов».
VII — пять + один + один = семь.
IV — пять – один = четыре.
Египетская, греческая системы были на том же уровне.
Главное неудобство такой системы заключалось в необходимости введения большого количества новых символов при увеличении числа. Это затрудняло арифметические вычисления.
Позиционная система, за счет небольшого количества символов для обозначения разных чисел, выгоднее в использовании.
Кому нужен решебник?
Решебник по математике для 5 класса представляет собой сборник вопросов и ответов, которые расположены под задачей. Структура предоставления материала основана на указании упражнения и дальнейшем пояснении к разгадке. Будет полезен:
• Школьникам, не понявшим ту или иную тему;
• Родителям, желающим помочь своему ребенку;
• Преподавателям, неуверенным в верном решении какого-либо упражнения;
• Репетиторам, которые хотят заранее подготовиться к занятиям;
• Для подготовки к контрольным работам или экзаменам
Информация, изложенная в сборнике с готовыми домашними заданиям для 5 класса, помогает не только подготовиться к конкретному занятия, но и дает основные данные относительно решения сложных упражнений. При подготовке к итоговой контрольной работе, школьник может пройти некоторые из заданий. Составляя упражнения к экзаменам, преподаватель опирается на изученный ранее материал.
Для родителей решебник станет настоящим спасением. Иногда объяснить некоторые моменты в решении сложно, поэтому сборник ответов поможет правильно донести материал. К тому же, школьная программа постоянно меняется и родитель будет в курсе последних изменений в математике. ГДЗ используется и для проверки домашних заданий, чтобы не тратить дополнительное время на самостоятельно решение.
§8. Инструменты для вычислений и измерений
689
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
§4. Площади и объёмы
- 4.1
- 4.2
- 4.3
- 4.4
- 4.5
- 4.6
- 4.7
- 4.8
- 4.9
- 4.10
- 4.11
- 4.12
- 4.13
- 4.14
- 4.15
- 4.16
- 4.17
- 4.18
- 4.19
- 4.20
- 4.21
- 4.22
- 4.23
- 4.24
- 4.25
- 4.26
- 4.27
- 4.28
- 4.29
- 4.30
- 4.31
- 4.32
- 4.33
- 4.34
- 4.35
- 4.36
- 4.37
- 4.38
- 4.39
- 4.40
- 4.41
- 4.42
- 4.43
- 4.44
- 4.45
- 4.46
- 4.47
- 4.48
- 4.49
- 4.50
- 4.51
- 4.52
- 4.53
- 4.54
- 4.55
- 4.56
- 4.57
- 4.58
- 4.59
- 4.60
- 4.61
- 4.62
- 4.63
- 4.64
- 4.65
- 4.66
- 4.67
- 4.68
- 4.69
- 4.70
- 4.71
- 4.72
- 4.73
- 4.74
- 4.75
- 4.76
- 4.77
- 4.78
- 4.79
- 4.80
- 4.81
- 4.82
- 4.83
- 4.84
- 4.85
- 4.86
- 4.87
- 4.88
- 4.89
- 4.90
- 4.91
- 4.92
- 4.93
- 4.94
- 4.95
- 4.96
- 4.97
- 4.98
- 4.99
- 4.100
- 4.101
- 4.102
- 4.103
- 4.104
- 4.105
- 4.106
- 4.107
- 4.108
- 4.109
- 4.110
- 4.111
- 4.112
- 4.113
- 4.114
- 4.115
- 4.116
- 4.117
- 4.118
- 4.119
- 4.120
- 4.121
- 4.122
- 4.123
- 4.124
- 4.125
- 4.126
- 4.127
- 4.128
- 4.129
- 4.130
- 4.131
- 4.132
- 4.133
- 4.134
- 4.135
- 4.136
- 4.137
- 4.138
- 4.139
- 4.140
- 4.141
- 4.142
- 4.143
- 4.144
- 4.145
- 4.146
- 4.147
- 4.148
- 4.149
- 4.150
- 4.151
- 4.152
- 4.153
- 4.154
- 4.155
- 4.156
- 4.157
- 4.158
- 4.159
- 4.160
- 4.161
- 4.162
- 4.163
- 4.164
- 4.165
- 4.166
- 4.167
- 4.168
- 4.169
- 4.170
- 4.171
- 4.172
- 4.173
- 4.174
- 4.175
- 4.176
- 4.177
- 4.178
- 4.179
- 4.180
- 4.181
- 4.182